Demostración del teorema de Noether en mecánica clásica

Estoy tratando de probar el teorema de Noether en el contexto de la mecánica clásica (partícula puntual), sin embargo, no estoy seguro de algunas cosas.

Para mantener las cosas lo más simples posible, solo estoy considerando el caso unidimensional. Como tal, estoy comenzando con la variación completa del camino.

$$\begin{align}q(t)\rightarrow q'(t')&=q'(t)+\dot{q}'(t)\delta t=q(t)+\delta q(t)+\dot{q}(t)\delta t\\ \\ \dot{q}(t)\rightarrow \dot{q}'(t')&=\dot{q}'(t)+\ddot{q}'(t)\delta t=\dot{q}(t)+\delta\dot{q}(t)+\ddot{q}(t)\delta t,\end{align}\tag{0.1}$$ de primer orden en $\delta t$. Esto conduce a las siguientes variaciones (a primer orden) $$\begin{align}\delta_{_{T}}q&=q'(t')-q(t)=\delta q(t) +\dot{q}(t)\delta t\\ \\ \delta_{_{T}}\dot{q}&=\dot{q}'(t')-\dot{q}(t)=\delta\dot{q}(t)+\ddot{q}(t)\delta t,\end{align}\tag{0.2}$$ donde el subíndice $T$es recordarnos que estamos deformando el tiempo, $t\rightarrow t+\delta t$así como la ruta (la llamada variación "total" o "completa" ). Ahora, asumiendo que esta es una simetría de la acción clásica $$S[q(t)]=\int dt\,L\left(q(t),\dot{q}(t),t\right)\tag{1}$$ tenemos eso $(1)$cambia a lo sumo en un término superficial, es decir $$\delta_{_{T}}S=\int dt\,\frac{d}{dt}G\left(q(t),t\right)\tag{2}$$ Ahora, el lado izquierdo de $(2)$es dado por $$\begin{align}\delta_{_{T}}S&=\int\delta_{_{T}}(dt)\,L+\int dt\,\delta_{_{T}}(L)=\int dt\frac{d(\delta t)}{dt}\,L+\int dt\,\left[\frac{\partial L}{\partial q}\delta_{_{T}}q +\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}\delta_{_{T}}\dot{q}+\frac{\partial L}{\partial t}\delta t\right]\\&=\int dt\frac{d(\delta t)}{dt}\,L+\int dt\,\left[\frac{\partial L}{\partial q}\Big(\delta q(t) +\dot{q}(t)\delta t\Big) +\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}\Big(\delta\dot{q}(t) +\ddot{q}(t)\delta t\Big)+\frac{\partial L}{\partial t}\delta t\right]\\&=\int dt\,\left[\left(\frac{\partial L}{\partial q}-\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}\right)\right)\delta q +\left(\frac{\partial L}{\partial q}\dot{q}+\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}\ddot{q}+\frac{\partial L}{\partial t}\right)\delta t+\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}\delta q\right)+L\frac{d(\delta t)}{dt}\right]\\&=\int dt\,\left[\left(\frac{\partial L}{\partial q}-\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}\right)\right)\delta q +\frac{dL}{dt}\delta t+\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}\delta q\right)+L\frac{d(\delta t)}{dt}\right]\\&=\int dt\,\left[\left(\frac{\partial L}{\partial q}-\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}\right)\right)\delta q +\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}\delta q +L\delta t\right)\right]\end{align}\tag{3}$$ Asumiendo que $q(t)$satisface la ecuación de Euler-Lagrange entonces tenemos que $$\delta_{_{T}}S=\int dt\,\left[\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}\delta q +L\delta t\right)\right]=\int dt\,\frac{d}{dt}G\left(q(t),t\right)\tag{4}$$ lo que implica que $$\int dt\,\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}\delta q +L\delta t-G\right)=0\qquad\Rightarrow\qquad\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}\delta q +L\delta t-G=\text{constant}\tag{5}$$ Es decir, la cantidad: $$\Lambda\big(q(t),\dot{q}(t),t\big)=\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}\delta q +L\delta t-G,\tag{6}$$ es una constante de movimiento .

Sin embargo, tengo algunas dudas sobre lo que he hecho hasta ahora, y esto me ha llevado a hacerme las siguientes preguntas:

$1.$¿ He usado la variación total correcta de la ruta en primer lugar?

$2.$Si he usado la variación correcta, ¿son correctos los pasos de la prueba?

$3.$Mi motivación original para tratar de replicar una prueba del teorema de Noether fue demostrar la conservación de la energía como consecuencia de la traslación del tiempo. Parece que en este caso se supone que la variación total desaparece, es decir

$$\delta_{_{T}}q=q'(t')-q(t)=0\tag{7}$$ (cf respuesta de QMechanic aquí ). ¿Por qué es este el caso? ¿Cuál es la justificación?

Me doy cuenta de que este tipo de pregunta se ha hecho varias veces antes, pero después de leer las publicaciones que pude encontrar, no encontré que ninguna de ellas haya respondido completamente a mis preguntas. Cualquier ayuda será muy apreciada.