En QFT, ¿cómo se escriben las interacciones más generales?

En física no existe un criterio general sobre cómo escribir lagrangianos adecuados, más que una comprobación a posteriori de las ecuaciones de los movimientos: todos los lagrangianos que generan la misma dinámica son igualmente correctos. Por ejemplo, como ejercicio, puede tratar de escribir todos los lagrangianos posibles que le devuelvan$F_j = m \ddot{x}_j$.

Dicho esto, para responder directamente a su pregunta: en QFT, la tendencia es escribir todos los términos posibles que son invariantes bajo el grupo de Poincaré y satisfacen las leyes de conservación que desea conservar. Se permiten todos los acoplamientos posibles de cualquier orden en los campos y hay muchos artículos en revistas que presentan este o aquel tipo de interacción. Eventualmente, tendrá que verificar la renormalizabilidad de la teoría, pero no existe un método general para cocinar campos en lugar de agregar términos explícitamente y verificar a posteriori qué tipo de dinámica producen (siempre que se cumplan todas las invariancias de la teoría) .

Si la física no es un problema, puede agregar arbitrariamente muchos términos. Sin embargo, una vez que entre la física, encontrará algunas restricciones:

• Como dijo Gennaro, se supone que se aplica la simetría de Poincaré.
• Los términos de derivadas más altas (derivadas segundas y superiores) son generalmente malas noticias. Pueden causar inestabilidad en el vacío (las energías pueden ser arbitrariamente negativas, lo que hace que el vacío se irradie infinitamente) y, en el peor de los casos (como una cantidad infinita de estos términos), la falta de localidad de las soluciones. Hay muchos hilos en stackexchange sobre los males de los derivados superiores, si lo desea.
• Algunos términos de interacción también pueden causar inestabilidad en el vacío. A$\varphi^3$el término de interacción tampoco tiene la energía más baja.
• Si hay alguna simetría de calibre, restringirá aún más la forma del campo de calibre, ya que de lo contrario romperá la simetría de calibre (esa es parte de la razón por la que se desarrolló el mecanismo de Higgs, ya que los términos de masa rompieron la simetría de calibre para el campo débil)

Un dominio en el que las interacciones genéricas se utilizan un poco es el de las teorías de campos efectivos. Para evitar lidiar con horrores como la cromodinámica cuántica, la teoría de la perturbación quiral escribe el lagrangiano más general que obedece a alguna simetría aproximada del sistema (generalmente SU(2) o SU(2)xSU(2)), algo de la forma

$\mathcal{L}_{eff} = \sum_{(k,l)} \mathcal{L}_{(k,l)}$

Con$\mathcal{L}_{(k,l)} \approx (\partial \varphi)^k \phi^l$

Por lo general, la mayoría de los términos se eliminan, pero si desea un ejemplo de un Lagrangiano en una forma muy general, es posible que desee examinarlo.