¿Cuál es el significado de una constante de acoplamiento adimensional?

Todo tiene que ver con la renormalización.

Las teorías cuánticas de campos suelen estar plagadas de divergencias ultravioleta. Estos desagradables artefactos de nuestras idealizaciones surgen de nuestro deseo de incluir fluctuaciones arbitrarias a pequeña escala en la imagen. En otras palabras, si confiamos en nuestra QFT en escalas cortas arbitrarias (que probablemente no deberíamos), aparecen infinitos como resultados de los cálculos de las amplitudes de correlación y la teoría pierde su significado.

Durante la primera mitad del siglo XX se desarrolló una determinada técnica para superar estas divergencias ultravioleta. Viene en dos pasos:

1. Regularización: se espera modificar la teoría original de tal manera que sea finita y se asemeje a la teoría original en algún límite. Por ejemplo, se podría usar el límite de momento excluyendo artificialmente los modos de Fourier con gran momento:$\omega^2 + p^2 > \Lambda^2$, dónde$\Lambda$se llama corte de momento y tiene dimensión de energía o longitud inversa. La teoría original se restaura en el límite.$\Lambda \rightarrow \infty$.

2. Renormalización: ahora que tenemos una teoría que tiene sentido, se despliega una idea inteligente. Por lo general, permitimos que varios parámetros en el Lagrangiano, como las constantes de acoplamiento, dependan de$\Lambda$. Esto permite compensar el cambio de$\Lambda$por un cambio en estos parámetros de tal manera que el límite$\Lambda \rightarrow \infty$se vuelve no singular. La teoría física se define entonces como un límite de tales teorías. Si este paso se puede llevar a cabo de manera consistente, la teoría se llama renormalizable. De lo contrario, se llama perturbativamente no renormalizable.

Ahora viene la parte importante, que muchas veces se malinterpreta. No solo nos hemos deshecho de los infinitos, hemos redefinido la teoría. Una teoría así definida no es equivalente a la teoría (infinita, inexistente) con el Lagrangiano original. En particular, no posee ciertas simetrías del Lagrangiano original, en particular, la simetría de escala.

Considere reescalar las coordenadas del espacio-tiempo. La teoría definida anteriormente se comporta de manera no trivial bajo tales cambios de escala, lo que se denomina acción de grupo de renormalización. De hecho, podríamos clasificar todos los QFT en tres categorías:

• Los acoplamientos relevantes tienen dimensiones de masa positivas, como$\phi^4$en 3d Estos disminuyen a medida que nos acercamos al régimen ultravioleta, ya que el corte$\Lambda$se vuelve efectivamente más pequeño en relación con nuestra creciente escala de energía, por lo que la interacción deja de ser importante. Alternativamente, el acoplamiento aumenta cuando nos acercamos a la región infrarroja (fluctuaciones a gran escala). Así, tales interacciones se manifestarían a gran escala.

• Los acoplamientos irrelevantes tienen dimensiones de masa negativas, como$\phi^4$en 5d. Al contrario del caso uno, estos aumentan a medida que nos acercamos a la región ultravioleta, pero son irrelevantes (de ahí el nombre) a gran escala. Tenga en cuenta que la teoría de la perturbación se rompe en la UV, ya que el acoplamiento explota y ya no podemos considerarlo pequeño y expandir sus poderes. Tales teorías son siempre no renormalizables. La Relatividad General Perturbativa pertenece a esta categoría de teorías.

• La tercera categoría es de acoplamientos "marginales" con dimensión de masa cero, como$\phi^4$en 4d. En este caso, el comportamiento del acoplamiento en el UV y el IR está completamente determinado por las fluctuaciones cuánticas y no puede deducirse de un simple análisis dimensional. Por ejemplo, QED explota en la UV (también conocido como el problema del polo de Landau), mientras que las teorías de norma no abeliana con grupos de norma compactos son asintóticamente seguras. Estas teorías pueden ser renormalizables, así como no renormalizables.

En conclusión: los acoplamientos adimensionales son los más interesantes porque pueden dar lugar a teorías renormalizables. Además, los acoplamientos con dimensión negativa de la masa son irrelevantes en la región infrarroja y siempre perturbativamente no renormalizables (aunque a veces pueden tener sentido no perturbativamente, el mejor ejemplo probablemente sea la Relatividad General en 3 dimensiones del espacio-tiempo). Espero que esto responda tu pregunta.