La variedad irreducible está conectada en la topología de Zariski

Quiero probar que una variedad afín irreducible está conectada en la topología de Zariski. En realidad, este es un ejercicio del Álgebra abstracta de Dummit y Foote . Sin embargo, tengo dos preguntas:

  • ¿El conjunto abierto no vacío mencionado en el problema 12 (también mencionado en el problema 11) corresponde a todo el espacio A norte o la variedad en sí? Es difícil para mí averiguar qué quiere decir autor.
  • He tratado de pensar en ello durante mucho tiempo. Mi intento fue una prueba por contradicción (supuse que los conjuntos "abiertos" no vacíos están abiertos con respecto a todo el espacio A norte ). Dejar V ser una variedad afín irreductible, A ,   B estar abierto en A norte y V ⊆ A ∪ B , A ∩ B = ∅ , A ∩ V ≠ ∅ , y B ∩ V ≠ ∅ . Quiero deducir una contradicción, pero fallo.

ingrese la descripción de la imagen aquí

La topología de Zariski en una variedad afín es la misma que la topología del subespacio para la variedad como un subconjunto de A norte con la topología de Zariski. Creo que es por eso que están un poco sueltos al decir dónde están abiertas las aberturas.
Como señaló el usuario 113102, realmente no importa dónde viven los conjuntos abiertos. Sin embargo, para aclarar un poco el problema, el hecho que se le da es que A ∩ V es denso en V , vea el problema 11. Si usa el problema 11, está a una oración de una contradicción.

Respuestas (1)

Su pregunta es puramente topológica y no tiene nada que ver con las variedades algebraicas.
∙ Se dice que un espacio topológico está conectado si es imposible escribirlo como la unión de dos subconjuntos abiertos disjuntos no vacíos.
∙ ∙ Se dice que un espacio topológico es irreducible si no está vacío y si dos subconjuntos abiertos cualesquiera no vacíos tienen una intersección no vacía conectada.

Entonces es obvio que todo espacio topológico irreducible está conectado.
El espacio topológico conexo más simple pero no irreducible es X = { F , o , o ′ } dotado de la topología cuyos conjuntos abiertos son:

X , ∅ , { o } , { o ′ } , { o , o ′ } .

El célebre profesor Grossmaulkleinesgehirn ha demostrado el teorema fundamental de clasificación:
Los espacios topológicos irreducibles de Hausdorff son exactamente los espacios de un punto.

La variedad irreducible está conectada en la topología de Zariski
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v