Estoy tratando de resolver el siguiente ejercicio a partir de las notas de Vakil: si los dos cuadrados en el siguiente diagrama conmutativo son diagramas cartesianos, entonces el "rectángulo exterior" (que involucra a U, V, Y y Z) también es un diagrama cartesiano.
Así que queremos mostrar que para cualquier objeto tales que existen morfismos y haciendo que el cuadrado exterior viaje, entonces existe un morfismo único .
Sé que esto es probablemente solo una persecución de diagrama con desenredado de definiciones, pero tengo problemas para resolverlo. Dejar , y ser etiquetas para los morfismos dados arriba, y supongamos que tenemos un objeto con mapas y tal que .
No estoy seguro de como proceder. Parece que hay cierta ambigüedad en cómo elegir el mapa de a ya que involucra a ambos cuadrados. ¿Qué tengo que hacer?
Dado que el cuadrado inferior es cartesiano, encontrará primero un mapa de a . Este mapa te da un mapa de a usando que el cuadrado superior es cartesiano. Entonces tienes la existencia del mapa. Para la singularidad, dos mapas de a haciendo conmutativos los triángulos del rectángulo daría dos morfismos de a hacer conmutativos los triángulos del cuadrado inferior, de modo que sean iguales (de a ). Así que los dos mapas de a haría conmutativos los triángulos superiores y sería igual porque el cuadrado superior es cartesiano.
ponchán