Acción de Galois sobre polinomios absolutamente irreducibles

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Acción de Galois sobre polinomios absolutamente irreducibles

Matemáticas
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geometría-algebraica

nómada

Considere un polinomio absolutamente irreducible $f(x)$ con coeficientes en $\mathbb{F}_{q^r}$ . Considere también $Gal(\mathbb{F}_{q^r}, \mathbb{F}_q)$ . ¿Hay alguna posibilidad de que $\sigma(f(x))$ sigue siendo un polinomio absolutamente irreducible donde $\sigma \in Gal(\mathbb{F}_{q^r}, \mathbb{F}_q)$ diferente de la identidad?

Para ser más claro, mi pregunta es que cuando tomamos una función $p(x) \in \mathbb{F}_q [x]$ y supongamos que $p(x)= \prod_{\sigma \in Gal(\mathbb(F)_{q^r}, \mathbb{F}_q)} \sigma(h(x))$ dónde $h(x)$ es un polinomio en $\mathbb{F}_{q^r}[x]$ que es absolutamente irreductible. me pregunto que puede $\sigma(h(x))$ ser absolutamente irreducible bajo alguna condición en $\sigma$ ? Si es así, ¿cuáles son las condiciones en $\sigma$ ?

Nombre para mostrar

f (x) = x + 1

$f(x)=x+1$ es fijado por

σ

$\sigma$ .

nómada

Desde

x + 1

$x+1$ es un polinomio en

F_{q} \[x \]

$\mathbb{F}_q \[ x\]$ , así es, sí.

nómada

Mi pregunta era así, toma una función.

p (x) \in F_{q} [x]

$p(x) \in \mathbb{F}_q [x]$ y supongamos que

p (x) = \prod_{σ \in G a l ((F)_{q^{r}}, F_{q})} σ (h (x))

$p(x)= \prod_{\sigma \in Gal(\mathbb(F)_{q^r}, \mathbb{F}_q)} \sigma(h(x))$ dónde

h (x)

$h(x)$ es un polinomio en

F_{q^{r}} [x]

$\mathbb{F}_{q^r}[x]$ que es absolutamente irreductible. me pregunto que puede

σ (h (x))

$\sigma(h(x))$ ser absolutamente irreducible bajo alguna condición en

σ

$\sigma$ ? Lo siento si pregunté mal al principio.

reencuentros

¿Qué significa absolutamente irreductible aquí? Querías decir

x = (x_{1}, \dots, x_{n})

$x=(x_1,\ldots,x_n)$ ? Cada polinomio de una variable se divide sobre el cierre algebraico.

σ

$\sigma$ se extiende a un automorfismo de

\bar{k}

$\overline{k}$ entonces de

\bar{k} [x_{1}, \dots, x_{n}]

$\overline{k}[x_1,\ldots,x_n]$ por lo que envía los irreducibles a sí mismos.

Respuestas (1)

Acción de Galois sobre polinomios absolutamente irreducibles

Desde $x+1$ es un polinomio en $\mathbb{F}_q \[ x\]$ , así es, sí.
Mi pregunta era así, toma una función. $p(x) \in \mathbb{F}_q [x]$ y supongamos que $p(x)= \prod_{\sigma \in Gal(\mathbb(F)_{q^r}, \mathbb{F}_q)} \sigma(h(x))$ dónde $h(x)$ es un polinomio en $\mathbb{F}_{q^r}[x]$ que es absolutamente irreductible. me pregunto que puede $\sigma(h(x))$ ser absolutamente irreducible bajo alguna condición en $\sigma$ ? Lo siento si pregunté mal al principio.
¿Qué significa absolutamente irreductible aquí? Querías decir $x=(x_1,\ldots,x_n)$ ? Cada polinomio de una variable se divide sobre el cierre algebraico. $\sigma$ se extiende a un automorfismo de $\overline{k}$ entonces de $\overline{k}[x_1,\ldots,x_n]$ por lo que envía los irreducibles a sí mismos.

olivier roche · Answer 1

Dejar $f \in \mathbb{F}_{q^r}[x]$ ser absolutamente irreductible.

Dado un polinomio $g$ y un automorfismo $\sigma$ de un campo que contiene los parámetros de $g$ (por ejemplo, un automorfismo global), permítanme escribir $g^\sigma : x \mapsto \sigma(g(x))$ . En otras palabras $g^\sigma(x) := \sigma(g(x))$ .

Para cualquier automorfismo global $\sigma \in Gal(\operatorname{acl}(\mathbb{F}_{q}), \mathbb{F}_q)$ , el polinomio $f^\sigma$ es también absolutamente irreducible.

Para ver esto, observe que si $f^\sigma$ factores, digamos $f^\sigma = P \cdot Q$ dónde $P, Q$ tienen coeficientes en el cierre algebraico de $\mathbb{F}_q$ , entonces $f = (f^\sigma)^{\sigma^{-1}} = (P \cdot Q)^{\sigma^{-1}} = P^{\sigma^{-1}} \cdot Q^{\sigma^{-1}}$ . Además, $\deg(P) = \deg(P^{\sigma^{-1}})$ y $\deg(Q) = \deg(Q^{\sigma^{-1}})$ .

@nomadd si esto responde a su pregunta, no dude en aceptar la respuesta y/o votarla :)
Primero necesitas extender $\sigma$ a $\overline{\Bbb{F}}_q$ (obvio para el Frobenius, un poco menos sobre otros campos) como es $P^{\sigma^{-1}}$ no tiene sentido
@reuns Esto es perfectamente correcto, uno debe abordar este problema técnico. Utilicé el abuso de notación consistente en considerar $\sigma$ dado como un automorfismo global. Este abuso de notaciones es consistente (por ejemplo, el mapa $\bar{\sigma} \mapsto f^\sigma$ está bien definido) y muy conveniente al hacer la teoría de Galois. :)
@reuns Además, dado $\sigma \in Gal(\mathbb{F}_{q^r}, \mathbb{F}_q)$ hay un candidato muy natural para expandirse $\sigma$ desde $\sigma$ es un poder del Frobenius. Ahora edité la prueba, ¡gracias! :-)

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