Indicador de variables aleatorias de dos eventos

Antes de que alguien cierre esta pregunta o la marque como duplicada, me gustaría señalar que esta pregunta se basa en otra pregunta idéntica hecha aquí . Nunca obtuvo una respuesta real, así que este es mi propio intento de resolver el problema.

Sea A un evento y sea$I_{A}$Sea la variable aleatoria indicadora asociada:$I_{A} (\omega)=1$si$ω∈A$, y$I_{A}(ω)=0$si$ω∉A$. Del mismo modo, deja$I_{B}$ser el indicador de otro evento,$B$. Suponer que,$P(A)=p$,$P(B)=q$, y$P(A∪B)=r$.

Encontrar$E[(I_{A}−I_{B})^2]$en términos de$p$,$q$y$r$

$$E[(I_{A}−I_{B})^2]=E[(I_{A}−I_{B})(I_{A}−I_{B})]$$ $$E[(I_{A}−I_{B})^2]=E(I^2_{A}-2I_{A}I_{B}+I^2_{B}]$$ Dado$I^2_𝐴=I_𝐴$y$I_𝐴I_𝐵=I_{𝐴∩𝐵}$, entonces $$E[(I_{A}−I_{B})^2]=E[I_{A}-2I_{A∩B}+I_{B}]$$ $$E[(I_{A}−I_{B})^2]=E[I_{A}]-2E[I_{A∩B}]+E[I_{B}]$$ $$E[(I_{A}−I_{B})^2]=P(A)-2P(A∩B)+P(B)$$ Dado$𝑃(𝐴∩𝐵)=𝑃(𝐴)+𝑃(𝐵)−𝑃(𝐴∪𝐵)$, entonces $$E[(I_{A}−I_{B})^2]=P(A)-2(P(A)+P(B)-𝑃(𝐴∪𝐵))+P(B)$$ $$E[(I_{A}−I_{B})^2]=2𝑃(𝐴∪𝐵)-P(A)-P(B)=2r-p-q$$

No estoy completamente seguro de pasar de$-2I_{A∩B}$a$-2E[I_{A∩B}]$

Lo que me gustaría saber, ¿es legítima esta transición?

Si es así, determine$\text{Var}(I_{A}−I_{B})$en términos de$p$,$q$y$r$por sustitución.

Dado$𝖵𝖺𝗋(𝑋)=E[𝑋]^2−(E[𝑋])^2$, entonces

$$𝖵𝖺𝗋(I_{A}−I_{B})=E[I_{A}−I_{B}]^2−(E[I_{A}−I_{B}])^2$$ $$𝖵𝖺𝗋(I_{A}−I_{B})=E[(I_{A}−I_{B})^2]−(E[I_{A}]−E[I_{B}])^2$$ $$𝖵𝖺𝗋(I_{A}−I_{B})=2r-p-q−(p−q)^2$$

Cualquiera puede mostrarme otro método o corregirme si me equivoco.