La trayectoria de un proyectil lanzado desde la cima de una colina.

Aquí está el problema:

Un niño se para en la cima de una colina que desciende uniformemente en ángulo$\phi$. en que angulo$\theta$desde la horizontal debe lanzar una piedra para que tenga el mayor alcance?

Me doy cuenta de que la misma pregunta se publica aquí: https://physics.stackexchange.com/questions/24235/trajectory-of-projectile-thrown-downhill , pero tengo algunas preguntas que no fueron respondidas en ese hilo:

1. ¿Se puede resolver el problema sin una rotación del sistema de coordenadas? ¿Si es así, cómo?
2. Traté de resolver el problema usando un sistema de coordenadas rotadas, pero no puedo encontrar la manera de terminarlo (vea el trabajo que se muestra a continuación).

Esto es lo que tengo hasta ahora:

1. Establecemos el sistema de coordenadas de modo que el positivo$x$El eje coincide con la pendiente descendente de la colina. Esto simplifica el problema al permitirnos relacionar fácilmente$\phi$y$\theta$, a través de la relación$\alpha = \phi + \theta$.
2. $v_{0x} = v_0 \cos\alpha$
3. $v_{0y} = v_0 \sin\alpha$
4. $a_x=-g \cos(\phi-\frac{\pi}{2})=-g \cos (-(\frac{\pi}{2}-\phi))= g\cos(\frac{\pi}{2}-\phi)=g\sin\phi$
5. $a_y=-g \sin(\phi-\frac{\pi}{2})=-g \sin (-(\frac{\pi}{2}-\phi))= -g\sin(\frac{\pi}{2}-\phi)=-g\cos\phi$
6. $v_x=v_{0x}+\int_{0}^{t}{a_x(t \prime)dt \prime}=v_0 \cos \alpha+\int_{0}^{t}{(g\sin\phi) dt \prime} =v_0 \cos \alpha + t(g\sin\phi)$
7. $x=x_0 + \int_0^t{v_x(t\prime) dt\prime} = \int_0^t{(v_0 \cos \alpha + t\prime(g\sin\phi)) dt\prime}=t(v_0 \cos \alpha) + \frac{1}{2}t^2(g \sin \phi)$
8. $v_y=v_{0y}+\int_{0}^{t}{a_y(t \prime)dt \prime}=v_0 \sin \alpha+\int_{0}^{t}{(-g\cos\phi) dt \prime} =v_0 \sin \alpha - t(g\cos\phi)$
9. $y=y_0 + \int_0^t{v_y(t\prime) dt\prime} = \int_0^t{(v_0 \sin \alpha - t\prime(g\cos\phi)) dt\prime}=t(v_0 \sin \alpha) - \frac{1}{2}t^2(g \cos \phi)$
10. Para encontrar el tiempo de vuelo del proyectil, encontramos el tiempo en el que su trayectoria interseca el suelo (en este caso, el$x$eje), ajustando$y=0$y resolviendo para$t$. $$y=t(v_0 \sin \alpha) - \frac{1}{2}t^2(g \cos \phi)=0$$ $$v_0 \sin \alpha = \frac{1}{2}t(g \cos \phi)$$ $$t=\frac{2v_0 \sin\alpha}{g \cos \phi}$$
11. Sustituyendo$t$en la ecuación para$x$nos da la distancia recorrida por el proyectil en función de los ángulos$\alpha$y$\phi$. $$x=t(v_0 \cos \alpha) + \frac{1}{2}t^2(g \sin \phi)$$ $$x=(\frac{2v_0 \sin\alpha}{g \cos \phi})(v_0 \cos \alpha) + \frac{1}{2}(\frac{2v_0 \sin\alpha}{g \cos \phi})^2(g \sin \phi)$$ $$x=\frac{2v_0^2}{g \cos \phi}(\sin \alpha \cos \alpha)+\frac{2v_0^2}{g \cos \phi}(\sin^2\alpha \frac{\sin\phi}{\cos\phi})$$ $$x=\frac{2v_0^2}{g \cos \phi}(\sin\alpha\cos\alpha+\sin^2\alpha\tan\phi)$$
12. Noté que la solución en el otro hilo procede de aquí diferenciando$x$con respecto a$\alpha$, tenencia$\phi$constante, lo que da $$\frac{dx}{d\alpha}=\frac{2v_0^2}{g \cos \phi}(\frac{d}{d\alpha}(\frac{1}{2}(\sin(2\alpha)+\sin^2\alpha\tan\phi))$$ $$\frac{dx}{d\alpha}=\frac{2v_0^2}{g \cos \phi}(\cos(2\alpha)+2\sin\alpha\cos\alpha\tan\phi)$$ $$\frac{dx}{d\alpha}=\frac{2v_0^2}{g \cos \phi}(\cos(2\alpha)+\sin(2\alpha)\tan\phi)$$ Esta ecuación nos permite examinar cómo$x$cambios con respecto a$\alpha$. Vemos eso$x$aumenta a medida que$\alpha$aumenta, hasta cierto punto, y luego disminuye a medida que$\alpha$aumenta más allá de este valor. Esto significa que la gráfica de$x$tiene un máximo relativo en el valor de$\alpha$que produce el rango máximo.
13. Queremos encontrar el valor de$\alpha$que da como resultado el alcance máximo del proyectil. En otras palabras, debemos determinar el valor de$\alpha$para lo cual la gráfica de$x$tiene un máximo relativo. Esto lo logramos estableciendo $$\frac{dx}{d\alpha}=0=\frac{2v_0^2}{g \cos \phi}(\cos(2\alpha)+\sin(2\alpha)\tan\phi)$$ Dividiendo cada lado por$\frac{2v_0^2}{g \cos \phi}$produce $$\cos(2\alpha)+\sin(2\alpha)\tan\phi=0$$ Aquí es donde me pierdo. Parece que esta debería ser la parte fácil, porque lo único que queda por hacer es resolver la ecuación anterior para$\alpha$, pero no sé cómo hacerlo. ¿Alguien podría explicarme esta parte?

Además, me gustaría saber si el problema se puede resolver sin rotar el sistema de coordenadas. Originalmente me propuse resolverlo usando el sistema de coordenadas rectangulares estándar, pero me atasqué en algunas ecuaciones que parecían no conducir a ninguna parte. Gracias por tu ayuda.