Trabajo realizado para cambiar la órbita circular y la velocidad orbital

Si un satélite de masa metro está orbitando un planeta de masa METRO con radio r 1 y velocidad orbital v 1 y se pone en órbita en r 2 con velocidad v 2 , su energía cinética cambia en una cantidad

Δ mi k = 1 2 GRAMO METRO metro ( 1 r 2 − 1 r 1 )

Dado que la energía total en la órbita 2 es igual a la energía total en la órbita 1 más el trabajo realizado para cambiar de órbita:

mi t o t ( 2 ) = mi t o t ( 1 ) + W 12
1 2 metro v 1 2 − GRAMO METRO metro r 1 = 1 2 metro v 2 2 − GRAMO METRO metro r 2 + W 12

Obtengo que el trabajo realizado para cambiar de órbita es

W 12 = Δ mi k − Δ mi pag = − 1 2 GRAMO METRO metro ( 1 r 2 − 1 r 1 )

Pensé que podría calcular esto suponiendo que el trabajo mínimo requerido para cambiar de órbita es el que se realiza a lo largo de un radio (ya sea en contra o con la gravedad) por una fuerza igual a la gravedad (en magnitud). Usando la definición de trabajo realizado:

W 12 = ∫ r 1 r 2 GRAMO METRO metro r 2 d r

no veo como obtener el factor 1 / 2 . ¿Qué estoy haciendo mal?

El problema es que estás usando la fuerza gravitacional para calcular el trabajo realizado para cambiar la órbita. Eso nunca sucederá. El trabajo realizado es ejercido por una fuerza no conservativa de los motores.
Sin embargo, ¿no sería suficiente una fuerza que sea igual y de gravedad opuesta para hacer ese trabajo?
No, también cambia KE.

Respuestas (2)

El encuadre del problema hace que suene como si un satélite estuviera cambiando de una órbita circular a otra.

Tienes la fuerza debida a la gravedad en la última integral, no la fuerza debida a lo que sea que esté cambiando la órbita. La gravedad central por sí sola no cambiará la órbita del objeto, por lo que debe haber otra fuerza que lo esté haciendo. Al calcular los cambios en la energía total, debe tener en cuenta las fuerzas externas que actúan sobre el sistema.

¿El trabajo realizado por esta fuerza externa no debería ser igual al trabajo realizado por la gravedad?

Pensé que podría calcular esto suponiendo que el trabajo mínimo requerido para cambiar de órbita es el que se realiza a lo largo de un radio (ya sea en contra o con la gravedad) por una fuerza igual a la gravedad (en magnitud).

Pero el trabajo realizado por esa fuerza solo puede cambiar la energía potencial gravitacional y no la energía cinética, ¿correcto?

Dicho de otra manera, si solo se aplica una fuerza externa al objeto que es igual en magnitud y opuesta en dirección a la fuerza gravitatoria, entonces el objeto tiene una fuerza neta cero y, por lo tanto, no habrá ningún cambio en la energía cinética de el objeto por tal fuerza.

Pero, para cambiar de una órbita circular a otra (en el mismo plano) se requiere que la energía cinética cambie en (negativamente) la mitad del cambio en la energía potencial gravitatoria.

Por lo tanto, el trabajo realizado por tal fuerza no puede ser igual al trabajo realizado al cambiar a una órbita circular diferente.

Trabajo realizado para cambiar la órbita circular y la velocidad orbital
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