Después de leer una guía para profanos sobre la relatividad general, comencé a preguntarme qué forma produciría una bola de bolos en una lámina de goma grande. Para simplificar, me gustaría suponer que la ley de Hooke se aplica al caucho.
Esto es lo que he hecho hasta ahora:
El caso unidimensional es una masa. suspendida en medio de una banda elástica de longitud y constante de resorte . En este caso, la banda crearía una forma de V, donde el ángulo en el medio (entre la banda y la horizontal) está restringido por , y la tensión está relacionada con la cantidad de estiramiento por la ley de Hooke, dando .
Sin embargo, no estoy seguro de cómo proceder en el caso bidimensional. ¿Es válido considerar una lámina de goma como una malla infinitamente fina de gomas? Intuitivamente, a cierta distancia desde el punto de masa, parece que la masa debe ser soportada igualmente por el material en el círculo de radio , por lo que tendríamos . Sin embargo, esto significa que como , tenemos , que no es físico (creo que la tensión debería ser constante en todas partes de la hoja).
¿Cuál es la forma correcta de modelar la forma de una lámina de goma con una masa puntual sobre ella?
La generalización de la ley de Hooke a dos dimensiones requiere la introducción de la relación de Poisson : cuando estira un material en una dirección, tiende a contraerse en direcciones perpendiculares. Entonces, la tensión radial del peso de la pelota producirá una contracción circunferencial que creará una tensión circunferencial para compensarla.
Por lo tanto, en cualquier punto de la hoja de caucho habrá tensión en dos direcciones perpendiculares, y debido a que la superficie resultante será de revolución, cualquier forma que no sea un plano horizontal tendrá al menos una curvatura distinta de cero. Curvatura más tensión significa fuerza perpendicular a la superficie, a menos que las curvaturas principales de su superficie tengan signos opuestos, y cuando se componen con la tensión correspondiente se compensan entre sí.
Si en lugar de una lámina de caucho tuviera una película de jabón, esto conduce a la conocida superficie mínima de revolución, la catenoide . Pero con una hoja de goma, la curvatura media no será exactamente cero, y por lo tanto la forma será diferente de eso, aunque con el mismo aspecto general: radialmente debe curvarse alejándose del eje de revolución para compensar la curvatura circunferencial.
Probablemente solo haya agregado más confusión, pero la forma en dos dimensiones definitivamente no será un cono.
La gravedad no obedece a la ley de Hooke sino que es una ley de potencia inversa (cuadrado inverso para ser específicos). La analogía de la hoja de goma es solo para proporcionar un medio para mostrar la naturaleza curva del espacio. La lámina de goma sería como usted sugirió con una pendiente en línea recta.
usuario10851