Trayectoria del proyectil lanzado cuesta abajo

Estoy aprendiendo mecánica y me dispuse a resolver un problema para determinar el ángulo óptimo para lanzar un proyectil cuando estoy parado en una colina, para lograr el máximo alcance. Mi respuesta parece casi plausible, excepto por un término que, para ser plausible, debe cambiar de signo. Pero no puedo encontrar ningún agujero en mi razonamiento.

Problema: Estoy parado en una colina recta con pendiente descendente y deseo lanzar una piedra para alcanzar el máximo alcance. La colina está inclinada hacia abajo desde la horizontal por$\varphi$. que angulo$\theta$por encima de la horizontal debo tirarlo?

Mi solución:

1. Usa coordenadas para que$x$es paralelo a la colina

2. Dejar$\alpha = \varphi + \theta$(es decir, el ángulo sobre el suelo al que estoy lanzando)

3. Entonces inicial$v$es$v_x = \cos \alpha$,$v_y = \sin \alpha$(normalizando las unidades para eliminar cualquier constante)

4. Entonces la aceleración de la gravedad es$a_x = -k \sin \varphi$,$a_y = - k \cos \varphi$(la gravedad está en la dirección y). Para simplificar los cálculos, suponga$k = 2$(la respuesta es válida para cualquier valor de la gravedad, por lo que es igual en la Luna que en la Tierra)

5. Queremos encontrar el alfa que maximiza$s_x$en el momento que hace$s_y = 0$. Primero, encuentra el tiempo que hace$s_y = 0$; llámalo t.

6. $s_y = t \sin \alpha - t^2 \cos \varphi$. Usando la fórmula cuadrática,$s_y = 0$en$t = 0$o$t = \frac{ \sin \alpha }{\cos \varphi}$.

7. Ahora, encuentra$s_x$en esto$t$. Sustituyendo y usando álgebra básica y trigonometría, obtenemos$s_x = \sin \alpha \, \cos \alpha - \sin ^2 \alpha\, \tan \varphi$. (Esto tiene sentido; el primer término tiene un máximo en$\pi/4$, como esperaríamos de la simetría. El segundo término nos dice que si el suelo se inclina significativamente, debemos reducir nuestro ángulo de lanzamiento. Muy plausible.)

8. Tomando phi como una constante, deseamos maximizar esta expresión. Un poco de cálculo e identidades trigonométricas hace que la derivada sea igual a$\cos(2\alpha)- \sin(2\alpha) \,\tan \varphi$, que tiene un cero en$\alpha = \pi/4 - \varphi/2$, o$\theta = \pi/4 - 3\varphi/2$. Aquí es donde las cosas se rompen. El primer término,$\pi/4$, parece correcto. Pero el segundo término da resultados ridículos.

9. Cambiar el signo del segundo término en la ecuación alfa termina con$\theta = \pi/4 - \varphi/2$, lo que da resultados completamente plausibles. ¡Pero no puedo encontrar ningún error en mi razonamiento o cálculos!

¿Alguien puede encontrar el eslabón perdido?

Explicación de la respuesta:

Como determinó Pygmalion, el paso 4 es incorrecto. El$a_y$el valor es correcto, pero ,$a_x$debe ser positivo : apuntando hacia abajo de la colina.

La respuesta es independiente de la magnitud de la gravedad; pero depende de la dirección .

Revisando la derivación:

7.$s_x = \sin \alpha \cos \alpha + \sin ^2 \alpha \tan \phi$

8. La derivada es$\cos(2 \alpha) + \sin(2 \alpha) \tan \phi$, con cero en$\alpha = \pi/4 + \phi/2$, de este modo$\theta = \pi/4 - \phi/2$. QED.