Péndulo simple ¿Por qué la coordenada generalizada siempre es un ángulo?

La fuerza de gravedad está en el$\hat y$dirección, pero esa no es la única fuerza en el problema. También hay tensión en la cuerda, que apunta a lo largo de la cuerda. Entonces, la fuerza total apunta tangencialmente al círculo.

Otra forma de decir esto es: puedes trabajar en coordenadas$x,y$Vectores de base$\hat x$,$\hat y$, pero entonces la fuerza apunta tanto en el$\hat x$y$\hat y$direcciones. Si en cambio trabajas en las coordenadas$r,\theta$, con vectores unitarios$\hat{r}$,$\hat{\theta}$, encontrará que la fuerza apunta solo en el$\hat \theta$dirección, sin componente a lo largo$\hat r$. ¡Así que estas son mejores coordenadas para usar!

Como la cadena tiene una longitud fija l, podemos escribir$x=\sqrt(l^2-y^2)$

Umm no

$x=\pm\sqrt{l^2-y^2}$

Así que hay dos posiciones diferentes del sistema con el mismo$y$valor, uno con positivo$x$y uno con negativo$x$, un poco de reflexión sobre cómo oscila un péndulo muestra que tanto lo positivo como lo negativo$x$los valores son parte de la región de operación normal del péndulo.

La respuesta de Peter Green ya te mostró el error ($x=\sqrt{l^2-y^2}$generalmente no es cierto), pero también puedes ver directamente que$y$no es una coordenada suficiente:

No importa lo rápido que se mueva el péndulo, en el fondo siempre tenemos$y=-l$y$\dot{y}=0$. Por lo tanto, no se puede describir el estado del sistema simplemente por$y$y$\dot{y}$.

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Editar: también vale la pena señalar que las otras respuestas son correctas que$\theta$se usa en lugar de las coordenadas cartesianas también porque en realidad es la opción que da las ecuaciones más simples (y, subjetivamente, más naturales).

Puede utilizar cualquier sistema de coordenadas que desee. Sin embargo, algunos de ellos hacen que sea mucho más fácil resolver las ecuaciones de movimiento. En particular, si elige$\theta$entonces terminas con un sistema que manifiestamente tiene un grado de libertad, mientras que si eliges$x$&$y$necesita expresarlo como si estuviera en dos dimensiones con una restricción entre ellas:$y = -\sqrt{l^2 - x^2}$.

Por lo general, a la gente le gusta elegir el sistema de coordenadas que facilita la solución.

Las coordenadas$x$,$y$o incluso (longitud de arco)$s$son tan buenos como$\theta$como coordenada generalizada. La diferencia entre ellos sólo puede ser una cuestión de conveniencia.

Como breve ejercicio, veamos qué sucede cuando elegimos$\theta$o$y$como coordenada generalizada.

Primero$q=\theta$. Entonces el lagrangiano es

$$L=\frac{1}{2}l^2\dot\theta^2+gl\cos\theta,$$ donde elegimos la unidad de masa por simplicidad. La ecuación de movimiento dice $$\ddot \theta+\frac gl\sin\theta=0,$$ y pequeñas oscilaciones significa $\sin\theta\approx\theta$, por eso $$\ddot \theta+\frac gl\theta=0.$$

Ahora deja$q=y$. Entonces

$$L=\frac 12\left(1+\frac{y^2}{l^2-y^2}\right)\dot y^2+gy=\frac 12\frac{l^2\dot y^2}{l^2-y^2}+gy,$$ ya que eliminamos $x$usando la restricción $x^2+y^2=l^2$. La ecuación de movimiento se ve mucho peor, $$\frac{d}{dt}\left(\frac{l^2\dot y}{l^2-y^2}\right)-\frac{l^2y\dot y^2}{(l^2-y^2)^2}-g=0.$$ ya que la derivada del tiempo debe actuar tanto sobre $\dot y$y $y$. Además, la aproximación de pequeñas oscilaciones no es sencilla como en el caso anterior. usted debe considerar $l-y\ll l$y Taylor expanden.

También tenga en cuenta que dado que la restricción es holonómica, puede considerar un problema dual que en realidad tiene tres grados de libertad ($x$,$y$y$\lambda$)

$$L=\frac{1}{2}(\dot x^2+\dot y^2)+gy+\lambda(x^2+y^2-l^2).$$ Tomando las ecuaciones de Euler-Lagrange para $q_i=x,\ y,\ \lambda$, $$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot q_i}-\frac{\partial L}{\partial q_i}=0,$$ obtenemos las ecuaciones de movimiento para $x$, $y$y $\lambda$, siendo el último solo la restricción. Sin embargo, es mucho más fácil seguir con $q=\theta$.

En la mecánica lagrangiana, la tensión de la cuerda es una fuerza de restricción (desconocida), por lo que se "reemplaza" por una restricción holonómica:

$$x^2+y^2=\ell^2 \tag 1\\$$

eres libre de elegir$x$o$y$como la coordenada generalizada, pero puede elegir solo una de ellas porque hay una restricción y dos coordenadas cartesianas$(x,y)$, por lo que el número de grados de libertad (que es el mismo que el número de coordenadas generalizadas) es simplemente:$2-1=1$grado de libertad ($1$coordinante generalizada). Además, las coordenadas generalizadas deben ser independientes , es decir , no existe una relación o fórmula que las reúna, lo cual no es el caso, como se desprende de la constante.$(1)$( por ejemplo , si sé el valor de$x$en el momento$t_1$y lo sustituimos en la ecuación$(1)$Puedo reducir el valor de$y$).

Sin embargo, existe otra restricción equivalente:

$$S=\ell \theta \tag 2\\$$ dónde $S$es la longitud del arco de la trayectoria circular de la lenteja.
Estas dos restricciones son básicamente las mismas (y cuentan como una) porque contienen la misma información sobre la geometría del sistema: la trayectoria del movimiento es circular y nos dicen que la cuerda no se puede estirar (con una longitud constante). Siguiendo el mismo razonamiento, puede elegir $S$o $\theta$como la coordenada generalizada. Como tenemos un movimiento de rotación, es conveniente usar el ángulo $\theta$como la coordenada generalizada.

Es importante tener en cuenta que cada elección de las coordenadas generalizadas da la misma ecuación diferencial de movimiento (por lo tanto, la misma solución para la coordenada y la misma frecuencia natural de vibración$\omega_0$).