¿Qué entendemos exactamente por simetría en física?

Puede que me equivoque en esto, pero a pesar de las similitudes, creo que estas dos cosas que describes son muy diferentes.

Su primer punto está relacionado con la llamada "covarianza general". Es algo que está vigente todo el tiempo. No ve ningún tipo de cuadrícula de coordenadas en ninguna parte cuando mira fuera de la ventana, y no ve ningún punto espacial o temporal designado como "punto de partida" (ignorando cosas como el Big Bang ahora, etc.), por lo tanto, es lógico que tales construcciones existan solo para ayudar a describir cosas matemáticamente, por lo que la física debería ser independiente de las coordenadas.

Lo segundo que dices no siempre sucede. Ejemplo, si tiene un Lagrangiano explícitamente dependiente del tiempo, entonces los desplazamientos de tiempo NO dejarán el Lagrangiano invariante, y la energía no se conservará (dicho esto, en realidad, la energía SE conserva, pero por ejemplo, si tiene fricción entonces generalmente dice que no se conserva, ya que se elimina de la suma de las energías cinética y potencial).

Del mismo modo, si tiene un campo potencial esféricamente simétrico, las rotaciones del sistema físico dejarán el Lagrangiano invariante, ya que el campo potencial es igual para todas las rotaciones alrededor del origen fijo. PERO si tiene un campo potencial cilíndricamente simétrico, cuyo eje es el$z$eje, luego rotaciones alrededor$z$dejará el lagrangiano invariante, pero las rotaciones alrededor del$x$o$y$los ejes NO dejarán la invariante lagrangiana.

La simetría es una invariancia de un objeto (la mayoría de las veces un espacio vectorial o una variedad) con respecto a una transformación . Por ejemplo, decimos que un objeto tiene simetría de reflexión sobre un plano si y solo si una reflexión en ese plano lo deja sin cambios.

De manera más abstracta, a menudo pensamos en cualquier mapa biyectivo como una "preservación" reversible de información, de modo que un objeto permanece esencialmente sin cambios ("invariante") por la acción del mapa. Entonces, a veces verás la palabra simetría casi como sinónimo de biyección.

Un Lagrangiano tiene simetría si se deja sin cambios por un mapa biyectivo impartido al espacio múltiple / configuración en el que se define el Lagrangiano. La simetría es continua si la transformación es miembro de una familia (grupo de Lie) de tales biyecciones que está parametrizada por coordenadas euclidianas y tal que la parametrización es una función continua de la operación de composición del mapa.

Nos referimos a ambos, aunque a veces en momentos diferentes.

El significado depende de cómo pretendamos aplicar la mecánica lagrangiana. Podemos querer decir: "Estamos midiendo este sistema de esta manera, pero podemos demostrar que no importa de qué manera lo midamos porque el comportamiento de los sistemas es independiente de nuestro sistema de medición". Y eso es todo muy bien y bueno. Es útil poder decir que las mediciones de las personas de nuestro sistema solo pueden estar en desacuerdo con nuestras mediciones de manera consistente.

También decimos "predecimos que el comportamiento del sistema X será así, debido a estas simetrías con el sistema Y". Por ejemplo, a menudo aprovechamos las simetrías de las constantes adimensionales para hacer un modelo de túnel de viento a escala reducida y establecer el comportamiento previsto de otro objeto que aún no se ha medido.

De la primera manera, la ciencia nos permite medir y compartir nuestras medidas, con la certeza de que será útil para los demás. De esta última manera, usamos la ciencia para hacer predicciones sobre lo que está por venir.