¿La siguiente serie es convergente o divergente?

Question

¿La siguiente serie es convergente o divergente?

Matemáticas
análisis real
números complejos
análisis complejo

Jennie Durham

Me dan la siguiente serie para determinar si es convergente. Mi problema es que uso 2 pruebas y una vez obtengo que el conjunto es convergente y el otro divergente.

la serie es

\sum_{norte = 0}^{\infty} (a^{norte} - a^{norte + 1})

$\sum_{n=0}^{\infty} \left(a^n-a^{n+1}\right)$

La prueba de raíz:

\underset{norte \to \infty}{límite} {(a^{norte} - a^{norte + 1})}^{1 / norte} = \underset{norte \to \infty}{límite} (a - a^{\frac{1}{norte} + 1}) = 0

$\lim_{n\to\infty} \left(a^n-a^{n+1}\right)^{1/n}=\lim_{n\to\infty} \left(a-a^{{\frac{1}{n}}+1}\right)=0$

Entonces esto es convergente

La prueba de la razón:

\underset{norte \to \infty}{límite} \frac{a^{norte + 1} - a^{norte + 2}}{a^{norte} - a^{norte + 1}} = a

$\lim_{n\to\infty} \frac{a^{n+1}-a^{n+2}}{a^n-a^{n+1}}=a$

¿Esto es divergente?

En ambos casos n tiende a infinito

¿Qué hay de malo en esto?

¡Gracias de antemano!

Tomas Andrews

Tu crees

(a^{n} - a^{n + 1})^{1 / n}

$(a^n-a^{n+1})^{1/n}$ = aa^{1+1/n}?

solución única

Tienes un grave error de manipulación de límites al aplicar la prueba de la raíz. No puedes insertar el

1 / n

$1/n$ adentro.

Tomas Andrews

¿Sabes qué es una serie telescópica? Hay una forma cerrada simple para

\sum_{n = 0}^{m} (a^{n} - a^{n + 1})

$\sum_{n=0}^m (a^n-a^{n+1})$ ...

Respuestas (1)

¿La siguiente serie es convergente o divergente?

Tienes un grave error de manipulación de límites al aplicar la prueba de la raíz. No puedes insertar el $1/n$ adentro.
¿Sabes qué es una serie telescópica? Hay una forma cerrada simple para $\sum_{n=0}^m (a^n-a^{n+1})$ ...

papágris · Answer 1

La prueba de la razón te da $a$ , por lo que definitivamente podría concluir que la serie converge si $|a|<1$ . Sin embargo, de manera más general observe que

\sum_{norte = 1}^{\infty} a^{norte} - a^{norte + 1} = (a - a^{2}) + (a^{2} - a^{3}) + (a^{3} - a^{4}) + \dots

$\sum_{n=1}^\infty a^n-a^{n+1} = (a-a^2)+(a^2-a^3)+(a^3-a^4)+\ldots$ Ahora reagrupa las cantidades con cuidado y ve si puedes cancelar algunas cosas.

Por último, como regla general $(x+y)^z \neq x^z+y^z$ .

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Jennie Durham

Tomas Andrews

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Tomas Andrews

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papágris

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