Definición de una raíz cuadrada principal en el espacio complejo: caso de Wolfram

En Wikipedia ( https://en.wikipedia.org/wiki/Square_root ), definimos la raíz cuadrada como

En matemáticas, la raíz cuadrada de un número$a$es un número y tal que$y^2 = a$; en otras palabras, un número$y$cuyo cuadrado (el resultado de multiplicar el número por sí mismo, o$y × y$) es$a$.[1]

Cada número real no negativo a tiene una única raíz cuadrada no negativa, llamada raíz cuadrada principal , que se denota por$\sqrt{a}$, dónde$\sqrt{}$se llama el signo radical o radix.

para positivo$a$, la raíz cuadrada principal también se puede escribir en notación exponencial, como$a^{1/2}$.

Si uno quisiera construir el concepto de raíz cuadrada en$\mathbb{C}$, solo usaríamos la definición de Wikipedia con$a\in \mathbb{C}$. Desde$P_a(x)=x^2-a$es un polinomio de grado$2$, tiene dos raíces en$\mathbb{C}$. ¿Cómo elegimos la raíz cuadrada principal? ¡Obviamente, no hay solución! Sin embargo, cuando uno va a Wolfram y escribe

resolver x^2=1+i

Inmediatamente, y sin previo aviso, devuelve dos soluciones en términos de una raíz cuadrada de un número complejo.

Peor aún, cuando uno escribe

resolver sqrt(x)=1+i

obtenemos una solución:$2i$

¿Cómo se definiría la raíz cuadrada principal? En aras de la simplicidad, ignoramos$0$.

Dejar$\Phi_{\alpha} : \mathbb{C^*}\rightarrow]0,\infty[×]\alpha,\alpha+2\pi]$denota una biyección de las coordenadas cartesianas a polares, con$]\alpha,\alpha+2\pi]$suministrado con el$2\pi$-equivalencia, y$\alpha \in \mathbb{R}$

Podemos decir eso$\forall z\in \mathbb{C^*} \exists!(\rho,\theta) \in]0,\infty[×]\alpha,\alpha+2\pi]$como$z=\rho(cos(\theta)+isin(\theta))$o$z=\rho e^{i\theta}$

Una definición natural sería definir la raíz cuadrada principal de$z$como$\sqrt{z}=\sqrt{\rho}e^{i\frac{\theta}{2}}$, sin embargo, porque introdujimos$\theta$, el$\sqrt{}$función depende de la definición de$\Phi_{\alpha}$.

En efecto, si elegimos$\alpha=0$,$\sqrt{(\mathbb{C^*})}=\mathbb{C^*}\backslash\{\mathbb{R_{+}^*}\cup \{z \in \mathbb{C} | \Im(z)<0\}$.

Este$\alpha$no es apropiado ya que viola lo que construimos para la raíz cuadrada principal en$\mathbb{R}$

Una opción interesante sería$\alpha=-\pi$, de hecho, la imagen de la raíz cuadrada estará en$\{z \in\mathbb{C*}| Re(z)\geq0\}$

Parece ser lo que adoptó Wolfram ...

Ahora, aquí es donde se complica para mí: si miramos hacia atrás a la definición de$\Phi_{\alpha}$, nada nos impide definirlo como$\Phi_{\alpha} : \mathbb{C^*}\rightarrow]0,\infty[×[\alpha,\alpha+2\pi[$, donde cambiamos el corchete del intervalo.

¡Este cambio tiene un impacto significativo! Si elegimos de nuevo$\alpha=-\pi$, la ecuacion$\sqrt{z}=i$solía tener una solución, pero ya no al cambiar los soportes.

De manera similar, Wolfram devuelve "no existe solución" si escribimos

resolver sqrt(x)=-i

Estoy tratando de obtener una definición natural e intuitiva de la raíz cuadrada en$\mathbb{C}$: Wolfram parece aceptar una , estaría de acuerdo en que la mejor biyección sería la que tiene$\alpha=-\pi$, pero no estoy seguro del orden de los corchetes: ¿por qué Wolfram eligió rechazar$\{z \in \mathbb{C} | \Re(z)=0, \Im(z)<0\}$?

Gracias.