¿Quién es responsable de la prueba analítica/topológica de FTA?

El teorema fundamental del álgebra afirma:

Teorema Sea$P$sea ​​un polinomio de grado$\geq 1$en$\Bbb C$. Entonces existe un$z_1\in\Bbb C$tal que$P(z_1)=0$.

El boceto de prueba es el siguiente:

Lema 1 Para cada$A>0$hay un$R>0$tal que$|z|\geq R$implica$|P(z)|\geq A$

Prueba para$z\neq 0$, escribir

$$P(z)=a_0z^n Q(z)$$

dónde

$$Q(z)=\sum_{k=0}^n \frac{a_k}{a_0}z^{-k}$$

Entonces$Q\to 1$para$z\to \infty$entonces hay un$R_1$para cual$|z|\geq R_1$implica$|Q(z)|\geq 1/2$. Así para$|z|\geq R_1$tenemos

$$|P(z)|=|a_0||z|^n| Q(z)|\geq \frac 1 2 |a_0||z|^n$$

A partir de esto, está claro que podemos hacer$|P(z)|>A$tomando$|z|>R$dónde

$$R=\max\left\{R_1,\left(\frac{2A}{|a_0|}\right)^{1/n}\right\}$$

Lema 2 Si$P$es un polinomio de grado$\geq 1$y$P(z_1)\neq 0$, dado$\delta_0 >0$hay un$z_2$tal que$|z_1-z_2|<\delta$y$|P(z_2)|<|P(z_1|$

Prueba Considere el caso particular$P(0)=1$. Entonces podemos escribir

$$P(z)=a_nz^n+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots+a_1z+1$$

Ahora deja$a_k$por el primer coeficiente$a_0,\dots,a_{n-1}$eso no se desvanece. Entonces

$$P(z)=1+a_kz^k+\cdots a_nz^n$$ para que podamos escribir $$P(z)=1+a_k z^k(1+H(z))$$ dónde $$H(z)=\frac{a_{k-1}}{a_k}z+\cdots+^\frac{a_0}{a_k}z^{n-k}$$

Desde$H(0)=0$; por continuidad$|H(z)|<\frac 1 2$para cada$z$con$|z|\leq \delta <\delta_0$, dónde$\delta$es tal que$\delta^k|a_k|<1$. Nosotros elegimos$z_2$como solución de

$$z^k=-\delta^k\frac{|a_k|}{a_k}$$

Entonces claramente$|z_2|=\delta$y

$$|P(z_2)|=|1-\delta^k|a_k|-\delta^k|a_k||H(z_2)||\\ \leq 1-\delta^k|a_k|+\delta^k|a_k||H(z_2)|\\ \leq 1-\delta^k|a_k|+\frac 1 2\delta^k|a_k|<1$$ que es lo que queríamos.

En el caso general en que$P(z_0)\neq 0$, nosotros escribimos$P(z)=\sum a_k z^k$como$P(z)=\sum b_k(z-z_0)^k$y tenga en cuenta que$P(z)=b_n P_1(z)$con$P_1(0)=1$, por lo que nos beneficiamos de lo que hicimos antes.

Finalmente, la prueba

PRUEBA Desde$P$es continuo por lo que es$|P|$, y$|P|\geq 0$. Establecer así$\alpha =\inf_{z\in \Bbb C}|P(z)|$. Como podemos tomar, del primer lema, un$R$tal que$|P(z)|\geq \alpha +1$podemos descartar la región$|z|> R$y escribe

$$\alpha =\inf_{|z|\leq R}|P(z)|$$ Por continuidad de $|P|$y compacidad del disco $K=\{z:|z|\leq R\}$, el teorema de Weierstrass afirma que para algunos $z_1$tenemos $|P(z_1)|=\alpha$. Desde $|P(z_1)|=\alpha<\alpha+1$, $z_1$es un punto interior del disco $K$, de donde hay algo $\delta_0$-bola a su alrededor. Si $\alpha \neq 0$, el segundo lema implica que podemos tomar algunos $z_2$con $|z_1-z_2|<\delta_0$y $|P(z_2)|<\alpha$contrariamente a $\alpha$siendo el ínfimo, de donde $|P(z_1)|=\alpha=0$, lo que implica $P(z_1)=0$y el teorema queda probado.

¿Alguien sabe dónde apareció por primera vez esta prueba? ¿Quién lo produjo? Ya lo he visto en "Calculus" de Spivak y en "Elementary Real and Complex Analysis" de EG Shilov.