La representación de Holstein-Primakoff (aproximación)

Tengo una pregunta con respecto a la representación de Holstein-Primakoff .

En la representación HP definimos los operadores de espín en términos de operadores bosónicos de creación y aniquilación.

S j + = 2 S − norte j a j S j − = a j † 2 S − norte j S j z = S − norte j

Dónde a j y norte j son operadores. Cuando derivamos la relación de dispersión del magnón, asumimos que

⟨ norte j ⟩ ⟨ S z ⟩ ≪ 1

lo cual está bien. Según tengo entendido, esto solo significa que asumimos que la mayoría de los giros apuntan a lo largo de la dirección z. Sin embargo, cuando vamos más lejos en la derivación, hacemos una expansión en serie en norte j / S , por lo que es decir

S j + = 2 S 1 − norte j 2 S + . . . ≈ 2 S 1 − norte j 2 S

Aquí es donde no entiendo. Di que estamos en un giro 1 / 2 -sistema. En ese caso, podemos para un sitio tener como máximo 1 excitación de magnón y S = ± 1 / 2 , por lo que para cada sitio individual norte j / 2 S no es mucho más pequeño que uno.

Mi pregunta es entonces, ¿cómo podemos justificar que la expansión de la serie tenga sentido en los operadores de cada sitio individual? ¿Las contribuciones de cada sitio cuando se resumen no contribuirán porque

⟨ norte j ⟩ ⟨ S z ⟩ ≪ 1

o he entendido algo mal?

Cualquier pensamiento sería muy apreciado.

Respuestas (2)

La suposición es que el giro S es un parámetro grande. Una conjetura que aparentemente no es válida para S = 1 / 2 . La expansión está en 1 / S , que se supone cercano a cero.

S j + = 2 S − norte j a j † = 2 S 1 − norte j 2 S a j † ≈ 2 S ⋅ ( 1 − norte j 4 S ) a j †
El segundo término, siendo de orden S − 1 / 2 , se descuida.

Asumiendo S ser grande, equivale a una aproximación semiclásica. En este límite, la incertidumbre relativa de los operadores de espín se vuelve extremadamente pequeña. (Use el álgebra de espín para ver esto).

Δ S i Δ S j S 2 ⟶ 0
La hipótesis de trabajo es que las excitaciones de baja energía se realizan como pequeñas desviaciones alrededor del estado fundamental completamente alineado. Para pequeños giros, por ejemplo S = 1 / 2 no hay forma de desviarse ligeramente de, digamos S i z = + 1 / 2 Lo que nos lleva de nuevo a su objeción/observación, que la expansión no es válida en el límite de 'pequeño giro'.

Muchas gracias por la respuesta. Parece entonces que no he entendido realmente qué es S. Si tenemos un electrón en cada sitio en una red, S no es 1/2. ¿O es S la suma de todos los giros de modo que si tenemos N puntos de red llenos S = N*(1/2)?
@camzor00 S es el giro en cada sitio. Por ejemplo, si considera una cadena de partículas de espín 1/2 (electrones), entonces S = 1 / 2
Bien, ¿entonces este modelo no es aplicable a una red (o cadena) de electrones? ¿No es esto lo que solemos considerar en un contexto de materia condensada? Me disculpo por ser lento, pero supongo que todavía estoy confundido sobre para qué sistemas físicos es válida esta aproximación.
@camzor00 Sí. No está claro por qué esta expansión debe mantenerse para el giro 1/2. Aparentemente, lo hace sorprendentemente bien en 2 y 3 dimensiones. Puede haber técnicas más adecuadas para los sistemas 1d de bajo giro, pero debo referirlo a la literatura para eso, ya que estoy lejos de ser un experto.
@ camzor00 Si mi respuesta fue útil para usted, considere darle un voto a favor. Gracias.

Partiendo de la analogía de que el operador de creación de bosones convierte un sitio de espín ascendente del estado fundamental ferromagnético a espín descendente, se podría decir que el operador numérico mide el "espín descendente" del punto de red. Ahora, en un hamiltoniano general, no hay restricción de que la función de onda en el sitio sea de espín hacia arriba o hacia abajo. Eso solo sucede cuando medimos con el operador pauli-z. Podría ser una mezcla cuántica (superposición) o clásica de giro hacia arriba y giro hacia abajo. La pequeña relación del operador numérico con respecto a S= 1/2 significa que la desviación del espín en el estado fundamental hacia abajo desde arriba es muy pequeña. En otras palabras, la amplitud de la desviación de espín es bastante pequeña. Por lo tanto, parece mantenerse en los cálculos.

Esta respuesta difiere de la anterior al decir que son posibles pequeñas desviaciones en el operador numérico, ya que la función de onda puede ser simplemente una superposición con un pequeño bit en el giro descendente. Entonces no hay inconsistencia matemática en esa suposición para S=1/2. Las ondas de espín del magnón que no interactúan dependen crucialmente de éstas.

Esto no proporciona una respuesta a la pregunta. Una vez que tenga suficiente reputación, podrá comentar cualquier publicación ; en su lugar, proporcione respuestas que no requieran aclaración por parte del autor de la pregunta . - De la revisión
¿No responde la pregunta? El operador de número medio pequeño a la relación S significa desviaciones suficientemente "pequeñas" en la función de onda local del estado fundamental.
Lea el comentario hasta el final: "eso no requiere aclaración por parte del autor de la pregunta". Quizás su respuesta contenga información relevante, pero podría usar un poco más de prueba, o al menos indicadores de documentación útil para respaldar lo que afirma.
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