Operadores de creación y aniquilación

En nuestra conferencia de hoy, presentamos dos tipos de operadores de creación y aniquilación.

Quiero restringirme al caso antisimétrico:

El primer operador a k † crea un estado | k ⟩ y la acción está dada por

a k † | 1 , . . . , norte ⟩ = norte + 1 | k , 1 , . . . , norte ⟩ , dónde | 1 , . . . , norte ⟩ eran estados antisimetrizados (!) (determinantes de pizarra).

Ahora, un par de minutos después, nuestro disertante cambió a la noción de números de ocupación e introdujo para norte j siendo la ocupación del estado k

a k † | norte 1 , . . , norte k , . , . . ⟩ = ( − 1 ) norte β norte β + 1 | norte 1 , . . . , norte k + 1 , . . ⟩ , dónde | norte 1 , . . , norte k , . , . . ⟩ se supone que es un elemento del espacio Fock y norte k := ∑ i = 1 k − 1 norte i .

Ahora, mi problema con esto es que ambos operadores aparentemente crean un nuevo estado k, pero no veo por qué actúan de manera tan diferente (el primero me da una norte + 1 , mientras que el segundo hace algo completamente diferente, aunque ambos simplemente crean un nuevo estado k .

Quiero decir, creo que ambos parecen de alguna manera plausibles, pero de alguna manera parecen contradecirse.

Si algo no está claro, por favor hágamelo saber.

Respuestas (1)

Creo que no entendiste bien a tu profesor o usó una notación muy mala y poco común. reclamaría la expresión a k † | 1 , . . . , norte ⟩ = norte + 1 | k , 1 , . . . , norte ⟩ es simplemente incorrecto cuando se entiende dentro de las notaciones habituales.

No está claro cuál es el estado | 1 , . . . , norte ⟩ denota Ahora mi mejor conjetura es que está en notación de 'primera cuantificación', y que los modos 1 , 2 , … , norte están todos ocupados por un fermión (ya que mencionas antisimétrico). Pero si es fermiónico, solo se permitiría físicamente si además lo antisimetrizas. S − | 1 , . . . , norte ⟩ . Esto es engorroso e implícito cuando se escribe en segunda cuantización en la representación del número de ocupación, que es la razón principal por la que esta notación es útil.

Un problema más es la acción del operador de creación. a k † sobre tu estado. Si es fermiónico, la expresión generalmente tampoco es cierta, ya que el estado se aniquila si una partícula ya ocupa este modo, es decir, si yo ≤ norte . Además, el factor norte + 1 (dónde norte ahora huele a un número de ocupación y no a un índice de modo) se puede omitir para los fermiones, ya que siempre es 0 o 1. También hay que cuidar el signo para los fermiones (como escribes correctamente en el segundo párrafo) al escribir tal expresión con un operador de escalera.

Por el bien de todos ustedes, sus compañeros de estudios, espero que esto sea solo una acumulación de muchos errores tipográficos, ya que, de lo contrario, a alguien que se le ocurrió esto no entendió algunos principios fundamentales.

En cuanto al segundo párrafo: esto es algo mejor, pero la expresión correcta sería

a k † | norte 1 , . . , norte k , . , . . ⟩ = ( − 1 ) norte k ( 1 − norte k ) | norte 1 , . . . , norte k + 1 , . . ⟩
por fermiones. De esta manera el prefactor ( 1 − norte k ) se encarga de aniquilar el estado si norte k = 1 antes de actuar sobre ella.

Dijiste que esto solo se define si adicionalmente antisimetrizamos, pero como traté de decir en mi pregunta: estos estados son de hecho estados antisimetrizados. ¿La primera ecuación ahora tiene más sentido para ti?
El estado puede definirse, pero no un estado fermiónico válido sin antisimetrización. Desafortunadamente, todavía no tiene sentido para mí, ya que no sé cuál es el estado | 1 , . . . , norte ⟩ se supone que denota.
Por lo general, para un estado de muchos cuerpos en la primera cuantificación, uno comienza con un conjunto de METRO orbitales de una sola partícula | 1 ⟩ , … , | METRO ⟩ (cada uno de los cuales es un estado válido de una sola partícula). Una base de estados para norte partículas está dada por | i 1 ⟩ , … , | i norte ⟩ , donde cada i norte es un índice de estado para el norte -ésima partícula. A partir de entonces, puede antisimetrizar para fermiones.
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