El elemento de matriz de un operador de orden normal

La ecuación (1.137) en Negele y Orland da la siguiente identidad para un operador de orden normal$A(a_i^\dagger,a_i)$:

$$\langle \phi|A(a_i^\dagger,a_i)|\phi'\rangle=A(\phi_i^*,\phi'_i)e^{\sum \phi_i^*\phi'_i}$$

Para los estados coherentes (bosones)$|\phi\rangle=e^{\sum\phi_ia^\dagger_i}|0\rangle$. Cuando intento probar esto, obtengo un factor de 1/2 en el exponente. voy a poner un ejemplo sencillo$A=a_i^\dagger a_i$para tratar de encontrar mi error. Primero defino$\eta'=\sum \phi'_ia_i^\dagger$y usa la identidad

$$a_i\eta'^n=n\phi'_i\eta'^{n-1}+\eta'^n a_i.$$

Entonces puedo mostrar

$$a_i|\phi'\rangle=(e^{\eta'}a_i+\phi'_ie^{\eta'})|0\rangle$$

Un término del cual mata el vacío, así que he demostrado

$$\langle \phi |a^\dagger_i a_i|\phi'\rangle=\langle 0| \phi^*_i\phi'_ie^{\eta^*}e^{\eta'}|0\rangle$$

Entonces quiero usar la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorf. el conmutador

$$\begin{equation} [\eta^*,\eta']=[\sum\phi^*_ia_i,\sum\phi_ja^\dagger_j]=\sum[\phi^*_ia_i,\phi_i'a_i^\dagger]+\sum_{i\neq j}[\phi^*_ia_i,\phi_ja^\dagger_j]=\sum\phi_i^*\phi'_i,\qquad (1) \end{equation}$$ y cuando conmutas todo por el segundo término y matas el vacío. Dado que este es un escalar, la fórmula BCH da

$$\ln(e^{\eta^*}e^{\eta'})=\eta^*+\eta'+\frac{1}{2}\sum\phi_i^*\phi_i'$$

Reorganice la suma, expóngala, elimine un poco más el vacío y obtengo la expresión correcta, ¡pero con un factor de 1/2!

¿Qué estoy haciendo mal? Mi primera conjetura está en la ecuación (1), tal vez hay algún conteo de dobles que no veo, pero puedes escribir cosas como

$$[\sum,\sum]=[1,\sum]+[2,\sum]+...=[1,1]+[1,\sum_{\neq 1}]+[2,2]+[2,\sum_{\neq 2}]+...$$ $$=\sum[i,i]+\sum_{i\neq j}[i,j].$$