La representación adjunta y el bosón de norma de O(n)O(n)O(n)

Lo que agrega a la derivada parcial para obtener la covariante derivada con respecto a la acción local del grupo$G$es siempre de una sola forma (lo que significa que tiene un índice de espacio-tiempo) con valores en la representación adjunta de$G$. La razón es la siguiente: para transformaciones independientes del espacio-tiempo$\psi \mapsto U \psi$,$U \in G$queremos tener$D \psi \mapsto U D \psi$. Esto requiere que los coeficientes de conexión$W$están en la representación adjunta,$W \mapsto U W U^{-1}$. La representación adjunta del grupo no es otra cosa que su álgebra de Lie$\mathfrak g$. Geométricamente, esto significa que si desea transportar en paralelo su campo a lo largo de un segmento de línea infinitesimal tangente al vector$\xi^{\mu}$, necesita actuar sobre él con un punto infinitesimal dependiente$G$-transformación$-W$.