Generadores de grupos de simetría SU(2)SU(2)SU(2) y SU(3)SU(3)SU(3)

¿Cuál es el significado físico de los generadores que parecen ser matrices?

Básicamente, representan físicamente operaciones infinitesimalmente pequeñas, por ejemplo,

1. momento angular como generador de rotaciones,

2. momento lineal como generador de traslaciones,

3. siendo la carga eléctrica el generador del grupo de simetría U(1) del electromagnetismo,

4. las cargas de color de los quarks son los generadores de la simetría de color SU(3) en la cromodinámica cuántica,

Son muy útiles, por su sencillez, en la comprobación de relaciones de conmutación, relacionadas con el Álgebra de Lie de cualquier grupo en particular.

Las matrices de Pauli, multiplicadas por$i$, son la base para $su(2)$, es decir, el álgebra de Lie involucrada, no el grupo.

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{1}=\sigma _{x}&={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\\\sigma _{2}=\sigma _{y}&={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}\\\sigma _{3}=\sigma _{z}&={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\,.\end{aligned}}}$

Sin embargo, como probablemente sepa, se incorporan en una función exponencial cuando necesitamos expresar, por ejemplo, una rotación en un ángulo de 30 grados.

Dado un $SO(3; 1)$ representacin, uno puede tratar de construir una representacin de $SO(3; 1)$, el componente de identidad del grupo de Lorentz, utilizando el mapeo exponencial. Si $X$ es un elemento de $SO(3; 1)$en la representación estándar, entonces

${\displaystyle \Lambda =e^{iX}\equiv \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(iX)^{n}}{n!}}}$

es una transformación de Lorentz por propiedades generales de álgebras de Lie.

EDITAR De un comentario de WetSavannaAnimal alias Rod Vance

Uno piensa en las álgebras de Lie de los grupos de Lie como álgebras de Lie sobre campos reales, de modo que$i$ no se considera como un escalar en el campo: los coeficientes de superposiciones en el Lie Algebra son siempre reales.