La relación entre el álgebra de Lorentz Lie y la curvatura

Permítanme tratar de explicar un secreto de vox populi .

Si tienes dos esferas,$S^2$, y definir un vector en un punto$p$(puedes imaginar un vector como una flecha), ¡el vector no se encuentra en la esfera!. De hecho, el conjunto de todos los vectores posibles en ese punto se generan (o viven) en un espacio plano y tangente a la esfera en$p$, denotado como$T_p S^2$.

Primera nota: Activado$T_p S^2$puede definir una acción euclidiana. Si su colector no es$S^2$pero un espacio-tiempo, puede definir una acción de Lorentz en el espacio tangente. Esta acción del grupo euclidiano (lorentziano) es local, porque está definida para cada punto$p\in\mathcal{M}$.

Cuando las personas usan el transporte paralelo, el vector se mueve de un espacio tangente a otro, este movimiento se logra definiendo una relación (o conexión) entre los espacios tangentes... si quieres, esta relación te dice cómo se pegan los espacios tangentes. .

Segunda nota: La conexión te dice cómo moverte de un espacio tangente a otro, y relaciona todas las acciones Euclidianas (Lorentzianas) sobre ellos.

La curvatura mide si es posible o no definir una estructura euclidiana (lorentziana) global en su variedad. ¡Si no hay curvatura entonces puedes!... si la curvatura no desaparece, no tienes suerte. Entonces, de alguna manera, la curvatura le dice si la estructura local de su variedad se puede "extender" para que sea global.

Tercera nota: la curvatura está relacionada con su estructura euclidiana o lorentziana local.

---

¡¡¡Ahora, un poco de diversión!!! (Me limitaré a Lorentz... me cansé de escribir Euclidean -Lorentz- )

El grupo de Lorentz está definido por un conjunto de generadores. Es posible encontrar conjuntos de generadores no equivalentes (esto está relacionado con las diferentes representaciones de un grupo -Lie-).

Un conjunto particular de generadores del grupo de Lorentz viene dado por el conmutador de matrices gamma

$$\mathbb{J}^{ab} \simeq \left[\gamma^a,\gamma^b\right].$$

Puede mostrar explícitamente que esos$\mathbb{J}$'s satisfacen el álgebra de Lorentz.

Finalmente, como en cualquier teoría local (o de norma), se define una derivada covariante

$$\mathcal{D}_\mu = \partial_\mu + \Omega_\mu,$$ con $\Omega = \frac{1}{2}(\omega_\mu)_{ab}\mathbb{J}^{ab}$.

Calculando el conmutador obtendrás el resultado deseado!!!

Esa es la relación entre la curvatura y el grupo de Lorentz ;-)