¿Cuál es exactamente la conexión entre las identidades de Jacobi y Bianchi?

Mientras revisaba algo de la teoría básica del campo, una vez más me encontré con la identidad de Bianchi (en el contexto del electromagnetismo). Se puede escribir como

∂ [ λ ∂ [ m A v ] ] = 0.
Aquí, A v es, por supuesto, el potencial electromagnético. Esta fórmula recuerda inmediatamente la identidad de Jacobi:
[ A , [ B , C ] ] + [ B , [ C , A ] ] + [ C , [ A , B ] ] = 0.

Esto es aún más claro en la relatividad general, donde tenemos

∇ [ λ R ρ σ ] m v ,
que podemos reescribir, recordando la definición del tensor de Riemann en términos del conmutador de derivadas covariantes, como
[ [ ∇ λ , ∇ ρ ] , ∇ σ ] + [ [ ∇ ρ , ∇ σ ] , ∇ λ ] + [ [ ∇ σ , ∇ λ ] , ∇ ρ ] = 0.
Todo esto parece que debería haber una conexión profunda aquí, pero soy incapaz de identificarla. ¿Quizás uno de los expertos aquí puede hacer esto más preciso? Me encantaría conocer más sobre esto. Cualquier comentario es muy apreciado. También estaría agradecido si alguien pudiera sugerir (más) etiquetas apropiadas para usar.

Tenía la misma pregunta, pero finalmente no la hice. Creo que la razón está relacionada con el hecho de que la identidad de Bianchi se puede derivar de la identidad de Jacobi: diffgeom.subwiki.org/wiki/…
Bastante justo, pero honestamente, esperaba una respuesta 'más profunda'. Tal vez estoy buscando algo que simplemente no está allí, pero parece que debería haber una conexión profunda entre dos cosas aparentemente muy diferentes. ¿Quizás algo relacionado con las propiedades geométricas de los campos?
@jinawee: OP está hablando sobre la segunda identidad (diferencial) de Bianchi ∇ [ λ R ρ σ ] m v

Respuestas (2)

I) Las pruebas tanto de la primera (algebraica) identidad de Bianchi como de la segunda (diferencial) identidad de Bianchi usan crucialmente que la conexión ∇ está libre de torsión , por lo que no son del todo consecuencias de la identidad de Jacobi . Las pruebas de las identidades de Bianchi se dan, por ejemplo, en la Ref. 1.

II) La segunda identidad de Bianchi puede formularse no solo para una conexión de fibra tangente sino también para conexiones de fibra vectorial.

III) El corchete de mentira en las identidades de Jacobi pertinentes es el corchete conmutador [ A , B ] := A ∘ B − B ∘ A . La identidad de Jacobi sigue porque la composición del operador " ∘ " es asociativo.

IV) En el contexto de la teoría de Yang-Mills y EM, la segunda identidad de Bianchi sigue porque el potencial de calibre A m y la intensidad de campo F m v puede verse como (parte de) una derivada covariante y un tensor de curvatura correspondiente, respectivamente.

Referencias:

  1. M. Nakahara, Geometría, Topología y Física, Sección 7.4.

Aquí hay una prueba de la identidad de Bianchi usando la identidad de Jacobi: si denotamos por F la curvatura de la conexión A , luego localmente

F = d A + 1 2 [ A , A ]
y por lo tanto
d A F = d F + [ A , F ] = d ( 1 2 [ A , A ] ) + [ A , d A ] = 0.
Dónde [ A , [ A , A ] es cero debido a la identidad de Jacobi.

¿Cuál es exactamente la conexión entre las identidades de Jacobi y Bianchi?
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