La operación definida en un grupo determina de forma única ese grupo

Este es un ejercicio (2.2:3) en An Invitation to General Algebra and Universal Constructions de George M. Bergman:

Si GRAMO es un grupo, definamos una operación d GRAMO en | GRAMO | por d GRAMO ( X , y ) = X y − 1 X . ¿La pareja GRAMO ′ = ( | GRAMO | , d GRAMO ) determinar el grupo ( | GRAMO | , ⋅ , − 1 , mi ) ? (es decir, si GRAMO 1 y GRAMO 2 dar el mismo par, GRAMO 1 ′ = GRAMO 2 ′ , debe GRAMO 1 = GRAMO 2 ?)

( | GRAMO | significa conjunto subyacente de un grupo).

Si GRAMO 1 ′ = GRAMO 2 ′ entonces son iguales como pares y eso significa que | GRAMO 1 | = | GRAMO 2 | y d GRAMO 1 = d GRAMO 2 . Dejar ∘ , − 1 , mi 1 (resp. ⋆ , ′ , mi 2 ) ser operación binaria, operación de tomar inversa y operación de identidad en grupo GRAMO 1 (resp. GRAMO 2 ). En virtud de d GRAMO 1 = d GRAMO 2 obtenemos

(1) X ∘ y − 1 ∘ X = X ⋆ y ′ ⋆ X
para cada X , y de | GRAMO 1 | . tapando varios X y y en ( 1 ) podemos obtener las siguientes relaciones de identidades:
(2) mi 1 ⋆ mi 1 = mi 2 − 1
(3) mi 2 ∘ mi 2 = mi 1 ′
(4) mi 2 − 1 ⋆ mi 1 = mi 2 − 1 ∘ mi 2 − 1
Y estoy atascado con eso: no puedo obtener ninguna relación razonable que permita obtener la igualdad de identidades o la igualdad de los inversos o simplemente la distributividad entre dos operaciones de grupo (para probar que los grupos son iguales). Por otro lado, para refutar eso, uno debe encontrar un contraejemplo, por ejemplo, en grupos de orden pequeño (es decir, dos estructuras de grupo diferentes en el mismo conjunto que dan las mismas operaciones derivadas), pero es tedioso.

| GRAMO | generalmente denota la cardinalidad del conjunto GRAMO .
Sí, pero en este libro significa conjunto subyacente de un grupo. Eso es exactamente lo que escribe el autor.
Tal vez sea útil leer la solución para Ejemplo 2.2.2 con d GRAMO ( X , y ) = X y − 1 .
Resolví 2.2:2, pero no puedo manejar este. En 2.2:2 simplemente conecte X en lugar de y en X ∘ y − 1 = X ⋆ y ′ y obten mi 1 = mi 2 . Sigue la igualdad de inversas y operaciones binarias.
@DietrichBurde: Bergman distingue entre la estructura algebraica (que involucra tanto el conjunto subyacente como las operaciones y/o relaciones definidas en él) y el conjunto subyacente. Entonces usa esa notación en todo (y es muy explícito al respecto, y sobre el conflicto con su uso común) para el conjunto subyacente y usa C a r d ( X ) por la cardinalidad de un conjunto X . El libro se compuso originalmente en troff, donde había menos opciones con respecto a las fuentes disponibles, y la notación se originó en esa versión.

Respuestas (2)

Dado que la pregunta pide igualdad de operaciones en lugar de isomorfismo: tome GRAMO ser cualquier abeliano elemental 2 -grupo. Entonces X y − 1 X = y por lo que la operación d GRAMO no le da información y, por ejemplo, ya hay dos estructuras de este tipo en el conjunto de dos elementos (dado al elegir uno u otro de los dos elementos para que sea la identidad).

Esta pregunta fue respondida hace un año y medio, pero permítanme agregar un comentario. En la respuesta dada, se argumenta que si GRAMO es un abeliano elemental no trivial 2 grupo, entonces ( | GRAMO | , d GRAMO ) no contiene suficiente información para determinar qué elemento de GRAMO es el elemento de identidad. De hecho, si GRAMO es CUALQUIER grupo no trivial, entonces ( | GRAMO | , d GRAMO ) no contiene suficiente información para determinar qué elemento es el elemento de identidad. Esto es porque d GRAMO es una operación idempotente ( d GRAMO ( X , X ) = X ) y el subclon idempotente de un grupo no puede identificar el elemento de identidad.

Más concretamente, deja GRAMO ser cualquier grupo no trivial y elegir cualquier a ∈ GRAMO − { mi } . La operacion X ⊗ y := X a − 1 y es una multiplicación de grupo en el conjunto | GRAMO | . Esta multiplicación tiene elemento de identidad. a (que fue elegido esencialmente arbitrariamente) y operación inversa inversión ⊗ ( X ) = a X − 1 a . Finalmente, d GRAMO ⊗ ( X , y ) = X ⊗ inversión ⊗ ( y ) ⊗ X = X a − 1 a y − 1 a a − 1 X = X y − 1 X = d GRAMO ( X , y ) . Esto muestra que ( | GRAMO | , ⊗ , inversión ⊗ , a ) y ( | GRAMO | , ⋅ , − 1 , mi ) tener lo mismo d -funcionan pero elementos de identidad diferentes. Estos grupos también tienen diferentes tablas de multiplicar. También tendrán diferentes tablas de operaciones inversas a menos que a es una involución central.

La operación definida en un grupo determina de forma única ese grupo
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