¿Dos vectores complejos distintos de cero que son perpendiculares pero NO ortogonales?

Si en$\mathbb{C}^n$, puede tener vectores que sean linealmente dependientes (sobre$\mathbb{C}$) pero que son perpendiculares con respecto al producto interno habitual (real) en$\mathbb{R}^{2n}$. En un espacio de producto interno real, dos vectores distintos de cero son linealmente dependientes si y solo si el ángulo entre ellos es un múltiplo entero de$\pi$. Esto no es cierto en un espacio de producto interno complejo. El ejemplo más simple es$\mathbb{C}$sí mismo: dos números complejos pueden tener cualquier ángulo entre ellos, pero todos son linealmente dependientes sobre$\mathbb{C}$.

Nótese en particular que la noción de ortogonalidad en un espacio de producto interno complejo (es decir, que tiene un producto interno complejo$0$) no es lo mismo que la noción de ortogonalidad en el espacio del producto interior real subyacente (es decir, tener un producto interior real$0$). De hecho, el producto interno real es solo la parte real del producto interno complejo. Entonces, si dos vectores son perpendiculares en$\mathbb{R}^{2n}$(en el sentido habitual del producto punto real), pueden no ser ortogonales en$\mathbb{C}^n$(en el sentido del producto escalar complejo): todo lo que puede decir es que su producto escalar complejo tiene una parte real$0$, es decir, es puramente imaginario.