Concatenación de vectores de características

¿Existe una definición formal de concatenación como un mapeo a un espacio de mayor dimensión (quizás en forma de multiplicación de matrices)?

Formalmente, el mapeo mapearía un par de vectores en un vector de mayor dimensión, por lo que sería un mapeo

pero la matriz del mapeo, como siempre, depende de la base que use tanto en el dominio como en el codominio. La matriz, si elige los vectores base obvios, es simplemente la matriz identidad. En otras palabras, el mapeo es, con toda honestidad, bastante aburrido en lo que respecta a las matemáticas.

De hecho, los espacios vectoriales$\mathbb R^n\times\mathbb R^m$y$\mathbb R^{n+m}$son tan similares que en álgebra lineal, por lo general se consideran como "el mismo" espacio. Esa es en realidad la razón de la notación.$\mathbb R^{k}$en general.

Si quiere ser estrictamente formal, puede definir$A\times\B\times C$como$(A\times B)\times C$, o puede definirlo como$A\times (B\times C)$. Y la pura verdad es que a nadie le importa qué definición uses, porque todos los resultados son perfectamente válidos usando cualquiera de las dos. Del mismo modo, puede definir$\mathbb R^n$como

o como

y todo es lo mismo de ahí en adelante.

Finalmente, me preguntaba si hay alternativas a la concatenación para una combinación efectiva de vectores de características.

¿A qué te refieres con efectivo? Esta pregunta puede caer rápidamente fuera del alcance de las matemáticas, ya que "efectivo" a menudo se define por cuán útil es en el mundo real.

Aún así, es posible que desee buscar PCA (análisis de componentes principales) u otros métodos de reducción de dimensionalidad. Pero como dije, esta es más una pregunta para https://datascience.stackexchange.com/

Por definición de la suma directa de dos espacios vectoriales, digamos$\mathbb{R}^n$y$\mathbb{R}^m$, la suma directa$\mathbb{R}^n\oplus\mathbb{R}^m$es el conjunto de elementos$(u,v)$, dónde$u\in\mathbb{R}^n$y$v\in\mathbb{R}^m$. Entonces puedes definir un isomorfismo a partir de$\mathbb{R}^n\oplus\mathbb{R}^m\rightarrow\mathbb{R}^{n+m}$por el mapa$(u,v)\mapsto(u_1,\ldots,u_n,v_1,\ldots,v_m)$. Las construcciones que parecen "obvias", como el simple apilamiento, a menudo se describen simplemente mediante isomorfismos. Estos son los mapas que te dicen cuando dos estructuras son iguales, a veces hasta notaciones obvias. Espero que esto ayude :)