¿Este conjunto es linealmente independiente?

Question

¿Este conjunto es linealmente independiente?

usuario136438

Si el subconjunto $\{ v_1,\ldots ,v_k\}$ es un subespacio linealmente independiente de un espacio vectorial, para todos los vectores distintos de cero $v$ en ese espacio vectorial, es el conjunto $\{v+v_1,\ldots,v+v_k \}$ también linealmente independiente?

Andrés E. Caicedo

No.

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gobernante501

@AndresCaicedo probablemente debería dar un contraejemplo para probar que

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Escribe la desigualdad a El clima es bueno ahora. Ahora es 2023-03-22T10:57:01.784Z JDoeDoe El clima es bueno ahora. Ahora es 2023-03-22T10:57:01.784Z Di que tengo los vectoresun ∈R3 a ∈ R 3 \mathbf{a}\in \mathbb R^3ysegundo ∈R3 b ∈ R 3 \mathbf b\in \mathbb R^3, y escribo aaj< segundo<bjj = 1 , 2 , 3(1)(2) (1) a < b (2) a j < b j j = 1 , 2 , 3 \begin{align} \mathbf a &< \mathbf b\tag 1\\ a_j &< b_j \qquad j = 1,2,3 \tag 2 \end{align} Mi pregunta: ¿Es correcto escribir la desigualdad( 1 ) ( 1 ) (1)con vectores unitarios? Me refiero a lo siguiente, si ab=mi^1a1+mi^2a2+mi^3a3=mi^1b1+mi^2b2+mi^3b3(3)(4) (3) a = mi ^ 1 a 1 + mi ^ 2 a 2 + mi ^ 3 a 3 (4) b = mi ^ 1 b 1 + mi ^ 2 b 2 + mi ^ 3 b 3 \begin{align} \mathbf a &= \hat e_1 a_1 + \hat e_2 a_2 \tag 3 +\hat e_3 a_3\\ \mathbf b &= \hat e_1 b_1 + \hat e_2 b_2 +\hat e_3 b_3\tag 4 \end{align}Esun < segundo a < b \mathbf a < \mathbf bequivalente a lo siguiente mi^1a1+mi^2a2+mi^3a3mi^1(a1<b1) +mi^2(a2mi^1(a1−b1< 0 ) +mi^2(a2−b2<mi^1b1+mi^2b2+mi^3b3⟺<b2) +mi^3(a3<b3)⟺< 0 ) +mi^3(a3−b3< 0 )(5)(6)(7) (5) mi ^ 1 a 1 + mi ^ 2 a 2 + mi ^ 3 a 3 < mi ^ 1 b 1 + mi ^ 2 b 2 + mi ^ 3 b 3 ⟺ (6) mi ^ 1 ( a 1 < b 1 ) + mi ^ 2 ( a 2 < b 2 ) + mi ^ 3 ( a 3 < b 3 ) ⟺ (7) mi ^ 1 ( a 1 − b 1 < 0 ) + mi ^ 2 ( a 2 − b 2 < 0 ) + mi ^ 3 ( a 3 − b 3 < 0 ) \begin{align} \hat e_1 a_1 + \hat e_2 a_2 +\hat e_3 a_3&< \hat e_1 b_1 + \hat e_2 b_2 +\hat e_3 b_3\tag 5\\ &\iff \\ \hat e_1 (a_1 < b_1) + \hat e_2 (a_2 &< b_2) + \hat e_3 (a_3 < b_3) \tag 6\\ &\iff \\ \hat e_1 (a_1 - b_1 < 0) + \hat e_2 (a_2 - b_2 &< 0) + \hat e_3 (a_3-b_3<0)\tag 7 \end{align}? álgebra lineal notación vectores El clima es bueno ahora. Ahora es 2023-03-22T10:57:01.784Z Nunca he oído hablar de tal cosa (o tal notación). ¿Qué quieres decir conmi^1(a1<b1) +mi^2(a2<b2) +mi^3(a3<b3) mi ^ 1 ( a 1 < b 1 ) + mi ^ 2 ( a 2 < b 2 ) + mi ^ 3 ( a 3 < b 3 ) \hat e_1 (a_1 < b_1) + \hat e_2 (a_2 < b_2) + \hat e_3 (a_3 < b_3)??? El clima es bueno ahora. Ahora es 2023-03-22T10:57:01.784Z Pspl El clima es bueno ahora. Ahora es 2023-03-22T10:57:01.784Z Esta pregunta probablemente se adapte mejor a math.stackexchange.com El clima es bueno ahora. Ahora es 2023-03-22T10:57:01.784Z Neal El clima es bueno ahora. Ahora es 2023-03-22T10:57:01.784Z GEdgar El clima es bueno ahora. Ahora es 2023-03-22T10:57:01.784Z Tu (5), (6), (7) no es notación matemática. En su lugar, escribe mi^1a1+mi^2a2+mi^3a3a1<b1ya2a1−b1< 0ya2−b2<mi^1b1+mi^2b2+mi^3b3⟺<b2ya3<b3⟺< 0ya3−b3< 0(5)(6)(7) (5) mi ^ 1 a 1 + mi ^ 2 a 2 + mi ^ 3 a 3 < mi ^ 1 b 1 + mi ^ 2 b 2 + mi ^ 3 b 3 ⟺ (6) a 1 < b 1 y a 2 < b 2 y a 3 < b 3 ⟺ (7) a 1 − b 1 < 0 y a 2 − b 2 < 0 y a 3 − b 3 < 0 \begin{align} \hat e_1 a_1 + \hat e_2 a_2 +\hat e_3 a_3&< \hat e_1 b_1 + \hat e_2 b_2 +\hat e_3 b_3\tag 5\\ &\iff \\ a_1 < b_1 \quad\text{and}\quad a_2 &< b_2 \quad\text{and}\quad a_3 < b_3 \tag 6\\ &\iff \\ a_1 - b_1 < 0 \quad\text{and}\quad a_2 - b_2 &< 0 \quad\text{and}\quad a_3-b_3<0\tag 7 \end{align} También tenga en cuenta: debe indicar que (2) es la definición de (1), ya que no es algo que se use comúnmente. El clima es bueno ahora. Ahora es 2023-03-22T10:57:01.784Z
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@AndresCaicedo probablemente debería dar un contraejemplo para probar que

gt6989b · Answer 1

Considerar $\vec{v} = -\vec{v}_1$ . no sera independiente

en que condiciones $\vec{v}$ les permitiría ser linealmente independientes?
@ruler501 Cuando $v\ne -v_i, \forall i \in \{1,\ldots,n\}$ :-)

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usuario136438

Andrés E. Caicedo

gobernante501

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gt6989b

gobernante501

BoZenKhaa