La notación δδ\delta en la mecánica clásica de Goldstein sobre el cálculo de la variación

En Mecánica clásica de Goldstein (página 36), introduce los conceptos básicos del cálculo de variación y los utiliza para formular con eficacia las ecuaciones de Euler-Lagrange. Sin embargo, hay un paso en el que el$\delta$la notación se define:

$$\delta y\equiv \left(\frac{\partial y}{\partial \alpha}\right)\text d\alpha,$$

en el cual$\alpha$es el parámetro utilizado en la modificación de la ruta:

$$y(\alpha,x)=y(0,x)+\alpha\eta(x),$$

$x$es efectivamente un parámetro de tiempo generalizado. Ambas definiciones están bien, sin embargo, esta notación se introduce en la integral de acción:

$$\frac{\text dJ}{\text d\alpha}=\int^{x_2}_{x_1}\left( \frac{\partial f}{\partial y} - \frac{\text d}{\text dx}\frac{\partial f}{\partial \dot y}\right)\frac{\partial y}{\partial \alpha}\text dx,$$

que se convierte en:

$$\delta J=\int^{x_2}_{x_1}\left( \frac{\partial f}{\partial y} - \frac{\text d}{\text dx}\frac{\partial f}{\partial \dot y}\right)\delta y\text dx,$$

lo que parece implicar que:

$$\delta y\stackrel{?}{\equiv}\left(\frac{\partial y}{\partial \alpha}\right)\neq \left(\frac{\partial y}{\partial \alpha}\right)\text d\alpha.$$

Puedo ver que (tal vez un poco agitando la mano) esto corresponde a una multiplicación por$\text d\alpha/\text d\alpha$, pero no estoy seguro de si esa es una forma válida de pensar en ello. ¿Que me estoy perdiendo aqui?