¿La acción para las partículas libres es realmente mínima?

Question

¿La acción para las partículas libres es realmente mínima?

acción
Física
mecanica clasica
cálculo variacional
principio variacional
deberes-y-ejercicios

Alex Goldstein

En mis clases de mecánica tengo un problema: mostrar, que la acción por partícula libre no relativista
$\begin{matrix} (1) & S = \int_{t_{i}}^{t_{F}} \frac{metro {\dot{X}}^{2}}{2} d t \end{matrix}$ $S=\int\limits_{t_i}^{t_f}\frac{m\dot{x}^2}{2}dt\tag{1}$ es realmente lo mínimo (pero no lo máximo).

Lo que hago:

\begin{matrix} (2) & S = \int_{t_{i}}^{t_{F}} \frac{metro {\dot{X}}^{2}}{2} d t = \frac{metro V^{2}}{2} \int_{t_{i}}^{t_{F}} d t = \frac{metro V^{2}}{2} (t_{F} - t_{i}) . \end{matrix}

$S=\int\limits_{t_i}^{t_f}\frac{m\dot{x}^2}{2}dt=\frac{mV^2}{2}\int_{t_i}^{t_f}dt=\frac{mV^2}{2}(t_f-t_i).\tag{2}$ Entonces

\dot{S} = \frac{m V^{2}}{2}

$\dot{S}=\frac{mV^2}{2}$ y

\ddot{S} = 0

$\ddot{S}=0$ . Y por minimalismo debe ser

> 0

$>0$ , pero es simplemente cero. Estoy confundido.

qmecanico

Curiosamente, a diferencia de la partícula libre (sobre la que pregunta OP), el oscilador armónico ya tiene caminos estacionarios que no son mínimos locales, cf. por ejemplo, esta publicación de Phys.SE.

Respuestas (1)

¿La acción para las partículas libres es realmente mínima?

Curiosamente, a diferencia de la partícula libre (sobre la que pregunta OP), el oscilador armónico ya tiene caminos estacionarios que no son mínimos locales, cf. por ejemplo, esta publicación de Phys.SE.

qmecanico · Answer 1

Sugerencias:

Se supone que debes mostrar que para valores arbitrarios pero FIJOS de $t_i$ , $t_f$ , $x(t_i)$ , $x(t_f)$ (con $t_i< t_f$ ), que la acción fuera de la cáscara funcional $S[x]$ para una ruta virtual arbitraria $t\mapsto x(t)$ es más grande que la acción en el caparazón $S[x_{\rm cl}]$ por el camino clásico $t\mapsto x_{\rm cl}(t)$ .
Trate de mostrar que la diferencia $S[x]-S[x_{\rm cl}]$ es un funcional manifiestamente positivo de la fluctuación $x-x_{\rm cl}$ .

Ok, ¿así que tomo una segunda variación para eso? en este caso tengo $L(\dot{q})$ , entonces: $d S = \int \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} d \dot{q} d t = \int metro \dot{X} d \dot{X} d t = - \int metro \ddot{X} d X d t$ $\delta S = \int \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\delta \dot{q} dt = \int m\dot{x}\delta \dot{x} dt = -\int m\ddot{x} \delta x dt$ y $d^{2} S = - \int metro d \ddot{X} d X d t = \int metro d \dot{X} d \dot{X} d t = \int metro (d \dot{X})^{2} d t .$ $\delta^2 S = - \int m \delta \ddot{x} \delta x dt = \int m \delta \dot{x} \delta \dot{x} dt = \int m ( \delta \dot{x})^2 dt.$ Y este tipo, por supuesto, más que cero. Gracias.

¿La acción para las partículas libres es realmente mínima?

Alex Goldstein

qmecanico

Respuestas (1)

qmecanico

Alex Goldstein

Principio de acción estacionaria vs Ecuación de Euler-Lagrange

¿La integral en la fórmula de acción con respecto al principio de acción estacionaria representa un área o una longitud?

Derivación de las ecuaciones de Euler-Lagrange en la "Mecánica" de Landau y Lifshitz

Demostrar que la densidad lagrangiana LL\mathscr{L}, que genera un conjunto dado de ecuaciones de Euler-Lagrange, no es única [duplicar]

¿Dependencia temporal del Lagrangiano de una partícula libre?

problema de calculo de variaciones

La variación de Schwinger de la acción de la partícula puntual con tanto el tiempo como la posición como variables independientes

¿Es posible que el Action SSS no tenga un punto estacionario?

Principio de acción y derivada funcional en CM

Pregunta sobre ecuaciones de movimiento "diferentes" en dependencia de índices