Problema relacionado con el espacio propio y el rango de alguna matriz

Question

Problema relacionado con el espacio propio y el rango de alguna matriz

Matemáticas
álgebra lineal
diagonalización
valores propios-vectores propios

kamil

Problema: Deja $N,P \in \mathbb{R}^{n \times n}$ sean matrices, y sean $P \neq 0$ . Suponer que $P = NP$ y eso $P$ es diagonalizable. Demuestra entonces que $N$ tiene un espacio propio con dimensión mayor o igual al rango de $P$ .

Intento: dejar $E_{\lambda_i}$ ser un espacio propio de $N$ correspondiente al valor propio $\lambda_i$ . Entonces tenemos que demostrar que $\text{rank}(P) \leq \dim(E_{\lambda_i})$ . Desde $P$ es diagonalizable, existe una matriz invertible $B$ tal que $B^{-1} P B = D$ es una matriz diagonal. Sabemos que la ecuación $n = \text{rank}(P) + \text{nullity}(P)$ siempre aguanta. Ahora, traté de relacionar el rango de $P$ al rango de $NP$ , pero no sé cómo.

tanasissdr

Probablemente quiera relacionar el rango P con el rango N, porque el rango P = rango (NP)

Respuestas (2)

Problema relacionado con el espacio propio y el rango de alguna matriz

Probablemente quiera relacionar el rango P con el rango N, porque el rango P = rango (NP)

chester · Answer 1

Tomar la primera $m = \text{rank}(P)$ valores propios en $D$ ser distinto de cero. Entonces

PAG = norte PAG \Rightarrow B D = norte B D \Rightarrow 1 \cdot (b_{j} d_{j}) = norte (b_{j} d_{j}), j = 1, \dots, metro

$P = NP \Rightarrow BD = NBD \Rightarrow 1 \cdot (b_jd_j) = N (b_jd_j), \; j=1,\ldots,m$

dónde $b_j$ es la columna $j$ de $B$ y por lo tanto son independientes. esto dice $N$ tiene un espacio propio asociado con $\lambda = 1$ con al menos rango $m$ . No estoy seguro de si necesita mostrar explícitamente que, de hecho, puede ser estrictamente mayor que $m$ . Necesito pensar en esa parte.

racionalizar · Answer 2

$N$ siempre tiene un espacio propio de dimensión $>=$ rango $P$ como:

$N(Pe_i)=Pe_i$ ; $i=1,2,...,n$

$Pe_i$ es $i^{th}$ columna de P, entonces, todas las columnas de están en el espacio propio de $N$ , correspondiente a ev $1$ . Esto prueba el resultado.

No creo que la diagonalidad de $P$ se requiere para probar esto.

Problema relacionado con el espacio propio y el rango de alguna matriz

kamil

tanasissdr

Respuestas (2)

chester

racionalizar

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