Cosmología FLRW: ¿dos universos paralelos abiertos a partir de la métrica estándar k=−1k=−1k = -1?

Question

Cosmología FLRW: ¿dos universos paralelos abiertos a partir de la métrica estándar k=−1k=−1k = -1?

Cham

Mis libros sobre Relatividad General no dicen nada sobre lo siguiente y me gustaría aclarar esto.

Considere solo el universo FLRW abierto ; $k = -1$ (también llamado universo hiperbólico ), de la siguiente métrica (nota: esa métrica se da en Misner-Thorne-Wheeler en la página 722, exe 27.4, también en Landau-Lifchitz, al final del párrafo 111):

\begin{matrix} (1) & d s^{2} = d t^{2} - \frac{a^{2} (t)}{(1 - r^{2} / 4)^{2}} (d r^{2} + r^{2} (d ϑ^{2} + {pecado}^{2} ϑ d φ^{2})) . \end{matrix}

$\tag{1} ds^2 = dt^2 - \frac{a^2(t)}{(1 - r^2 /4)^2}\big(dr^2 + r^2 (d\vartheta^2 + \sin^2 {\vartheta} \; d\varphi^2) \big).$ Por lo general, introducimos una nueva coordenada radial:

\begin{matrix} (2) & \tilde{r} = \frac{r}{1 - r^{2} / 4}, \end{matrix}

$\tag{2} \tilde{r} = \frac{r}{1 - r^2/4},$ tal que la métrica (1) se convierte en

\begin{matrix} (3) & d s^{2} = d t^{2} - a^{2} (t) (\frac{d {\tilde{r}}^{2}}{1 + {\tilde{r}}^{2}} + {\tilde{r}}^{2} (d ϑ^{2} + {pecado}^{2} ϑ d φ^{2})), \end{matrix}

$\tag{3} ds^2 = dt^2 - a^2(t) \Big( \frac{d\tilde{r}^2}{1 + \tilde{r}^2} + \tilde{r}^2 \, (d\vartheta^2 + \sin^2 {\vartheta} \; d\varphi^2) \Big),$ si no

\begin{matrix} (4) & r = 2 bronceado (x / 2) \end{matrix}

$\tag{4} r = 2 \tanh{(\chi/2)}$ (o

\tilde{r} = \sinh χ

$\tilde{r} = \sinh{\chi}$ ) tal que

\begin{matrix} (5) & d s^{2} = d t^{2} - a^{2} (t) (d x^{2} + {pecado}^{2} x (d ϑ^{2} + {pecado}^{2} ϑ d φ^{2})) . \end{matrix}

$\tag{5} ds^2 = dt^2 - a^2(t) \big(d\chi^2 + \sinh^2 {\chi} \, (d\vartheta^2 + \sin^2 {\vartheta} \; d\varphi^2) \big).$ Sin embargo, estas transformaciones de coordenadas pasan por alto una particularidad de la métrica (1) anterior: tiene una singularidad de coordenadas en

r = 2

$r = 2$ , y sigue siendo válido para

r > 2

$r > 2$ (recuerde que la métrica (1) describe un espacio-tiempo isotrópico y homogéneo, por lo que la curvatura es regular en todas partes:

0 \leq r < \infty

$0 \le r < \infty$ . Los invariantes de curvatura ni siquiera dependen de

r

$r$ ). Desde

\tilde{r}

$\tilde{r}$ debe ser positivo, la transformación (2) es válida sólo para

r < 2

$r < 2$ . Además, la transformación (4) se define solo si

r < 2

$r < 2$ .

Así que la pregunta es simple: ¿Cuál es la parte del espacio-tiempo descrita por $r > 2$ , según la métrica (1) ? . ¿Es este otro espacio-tiempo abierto, "paralelo" a la parte descrita por $r < 2$ ? ¿O tenemos que limitarnos a $r < 2$ solo (por qué rechazar $r > 2$ ) ?

Tenga en cuenta que la métrica (1) es invariante bajo la inversión de coordenadas radiales:

\begin{matrix} (6) & r = 4 / r^{'}, \end{matrix}

$\tag{6} r = 4/r',$ entonces puntos de coordenadas

r < 2

$r < 2$ podría ser mapeado a puntos de coordenadas

r > 2

$r > 2$ (hay algo similar con la métrica de Schwarzschild escrita en coordenadas isotrópicas ).

Además, la distancia radial propia de un punto de coordenadas $r < 2$ al observador situado en $r = 0$ se calcula fácilmente:

\begin{matrix} (7) & D = a (t) en (\frac{2 + r}{2 - r}) \equiv 2 a (t) argumento bronceado (r / 2) . \end{matrix}

$\tag{7} \mathcal{D} = a(t) \ln{\Big(\displaystyle{\frac{2 + r}{2 - r}}\Big)} \equiv 2 \, a(t) \arg\tanh{(r/2)}.$ (esto es simplemente

D = a (t) χ

$\mathcal{D} = a(t) \, \chi$ si haces la transformación (4) anterior). Esa distancia diverge en

r = 2

$r = 2$ , por lo que no podemos definir la distancia a los puntos de

r > 2

$r > 2$ .

¿Tengo razón al decir que la parte del espacio-tiempo con $r > 2$ se puede interpretar como un universo abierto "paralelo" desconectado , un poco como la segunda hoja de un hiperboloide de 2 hojas ? (ver la imagen allí: http://virtualmathmuseum.org/Surface/hyperboloid2/hyperboloid2.html )

Cham

@JohnRennie, ¡no, no lo es! Con

k = - 1

$k = -1$ y el factor geométrico

\frac{1}{(1 + k r^{2} / 4)^{2}},

$\frac{1}{(1 + k r^2 /4)^2},$ la métrica (1) describe un espacio abierto (hipérbólico). Revise sus matemáticas/libros y compárelos con la métrica (3), que tienen un signo opuesto delante de $k$ . Estoy seguro de esto. El universo cerrado se define por

k = + 1

$k = +1$ , por lo que daría el factor geométrico

\frac{1}{(1 + r^{2} / 4)^{2}} .

$\frac{1}{(1 + r^2/4)^2}.$ La métrica (3) entonces tiene el factor

\frac{1}{1 - {\tilde{r}}^{2}}

$\frac{1}{1 - \tilde{r}^2}$ para el universo cerrado .

Cham

Además, tenga en cuenta que las métricas (1) y (3) obtienen una hiperbólica

\sinh χ

$\sinh{\chi}$ , cuando sustituye la transformación de coordenadas (4) (o

\tilde{r} = \sinh χ

$\tilde{r} = \sinh{\chi}$ ). Esto entonces implica el universo abierto , no el cerrado (que necesita una trigonométrica

\sin χ

$\sin{\chi}$ ) !

Juan Rennie

Uy, lo siento, leí la publicación a toda prisa y lo leí mal.

Juan Rennie

¿No es su métrica (1) el disco de Poincaré, o una de sus muchas variantes?

Cham

@JohnRennie, la métrica (1) es una variante del "disco" de Poincaré (en 3D + tiempo) si

k = - 1

$k = -1$ , pero creo que no es importante (¡es "solo" un nombre!). La mayoría de los autores definen la métrica RW con la métrica (3) (la métrica (1) parece ser menos conocida), pero una simple transformación de coordenadas radiales da la métrica (1). Misner-Thorne-Wheeler dan la métrica (1) en la página 722 como la métrica RW "verdadera" (de los artículos de 1935-1936 de Robertson y Walker). Tiene muchas ventajas de cálculo ya que es "isotrópico" y su sección espacial es conforme a la métrica euclidiana;

d ℓ^{2} = f (r) (d x^{2} + d y^{2} + d z^{2})

$d\ell^2 = f(r)(dx^2 + dy^2 + dz^2)$ .

Jim

Tengo curiosidad porque después de revisar muchos textos y fuentes de Internet, no puedo encontrar ninguna mención de esta métrica (1) con un

r^{2} / 4

$r^2/4$ término. ¿Qué texto estabas usando? ¿De dónde vienen los 4? Además, casi todas las fuentes que pude encontrar tenían la

\frac{1}{(1 + k r^{2})^{2}}

$\frac{1}{(1+kr^2)^2}$ factor aplicado sólo a la

d r^{2}

$dr^2$ término, no al

d Ω^{2}

$d\Omega^2$ término. Supongo que pusiste esto textualmente del texto que estabas leyendo, por lo que me gustaría saber específicamente cuál es. Para que pueda leerlo para obtener más contexto y comprensión.

Cham

@Jim, esa métrica se proporciona en Misner-Thorne-Wheeler y también en Landau-Lifchitz, como una pequeña adición o ejercicio. Lo he visto en otros lugares también, pero no recuerdo en qué libro o periódico. Todos los otros libros que tengo están dando la versión (3) (con el

1 / (1 - k {\tilde{r}}^{2})

$1/(1 - k \, \tilde{r}^2)$ factor frente a

d {\tilde{r}}^{2}

$d\tilde{r}^2$ . Vea la diferencia de signo delante de

k

$k$ , por cierto, es importante). Puedes aplicar la transformación de coordenadas radiales que he dado para pasar de una versión a otra, es muy fácil. El 4 es un poco arbitrario, pero lo mantengo para satisfacer las convenciones. Nuevamente, intente la transformación (2).

Jim

Estoy revisando el problema específico al que te refieres. Creo que se cometieron algunos errores de cálculo. La métrica que dan no tiene un factor de escala porque está incluida en

K = k / a^{2} (t)

$K=k/a^2(t)$ . También enumeran la métrica en coordenadas cartesianas. En esto,

K

$K$ no se limita a

K = - 1, 0, + 1

$K=-1,0,+1$ .

K

$K$ puede tener cualquier magnitud. Además, si realiza el reemplazo de cartesiano a esférico, el texto indica en la página siguiente que debe obtener su (3) (excepto que debe haber un

1 - K r^{2}

$1-Kr^2$ en el denominador porque

K

$K$ todavía incluye

a

$a$ .

Jim

Entiendo que puedes transformar a coordenadas esféricas sin imponer eso

2 π r

$2\pi r$ ser la circunferencia adecuada, pero aún no tiene un factor de escala en el numerador y

(1 - \frac{r^{2}}{4 a^{2} (t)})^{2}

$(1-\frac{r^2}{4a^2(t)})^2$ en el denominador. A lo que podría señalar que si

r > 2 a (t)

$r>2a(t)$ , surge la misma pregunta. La diferencia es que en este caso,

a

$a$ está en unidades de longitud, lo que en su mayoría hace que sea imposible tener

r > 2 a

$r>2a$ . Necesito seguir leyendo sobre eso, pero creo que es la razón por la que no hay más problemas en torno a esto y apuesto a que se menciona en los documentos de Robertson y Walker.

Jim

Incluso en el libro de texto, al principio de la página, hace referencia a

a (t)

$a(t)$ a veces se le llama el "radio del universo" en este formalismo. Como dije, voy a analizar esto un poco más, pero apuesto a que no es un problema real debido a la forma en que se define cada elemento. Probablemente esta pregunta equivalga a preguntar "¿Qué sucede si una coordenada es más grande que ella misma?"

Cham

@Jim, no hay error en ninguna parte. El factor de escala generalmente se factoriza por conveniencia y no tiene importancia para el tema que se analiza aquí. Puede establecerlo en 1 si lo prefiere. En el libro de MTW, el

K

$K$ puede ser absorbido usando

K = \pm | K |

$K = \pm \, |K|$ , y luego absorbiendo

| K |

$|K|$ en la coordenada radial. Así que te quedas

k = \pm 1, 0

$k = \pm 1, 0$ solamente (como lo que MTW está mostrando en su libro). En mi opinión, la métrica (1) debería ser mucho más mostrada y conocida. Asegúrese de ver claramente la diferencia en los factores

1 / (1 + k r^{2} / 4)^{2}

$1/(1 + k \, r^2 / 4)^2$ (factor global) y

1 / (1 - k {\tilde{r}}^{2})

$1/(1 - k \, \tilde{r}^2)$ .

Respuestas (1)

Cosmología FLRW: ¿dos universos paralelos abiertos a partir de la métrica estándar k=−1k=−1k = -1?

@JohnRennie, ¡no, no lo es! Con $k = -1$ y el factor geométrico $\frac{1}{(1 + k r^{2} / 4)^{2}},$ $\frac{1}{(1 + k r^2 /4)^2},$ la métrica (1) describe un espacio abierto (hipérbólico). Revise sus matemáticas/libros y compárelos con la métrica (3), que tienen un signo opuesto delante de $k$ . Estoy seguro de esto. El universo cerrado se define por $k = +1$ , por lo que daría el factor geométrico $\frac{1}{(1 + r^{2} / 4)^{2}} .$ $\frac{1}{(1 + r^2/4)^2}.$ La métrica (3) entonces tiene el factor $\frac{1}{1 - {\tilde{r}}^{2}}$ $\frac{1}{1 - \tilde{r}^2}$ para el universo cerrado .
Además, tenga en cuenta que las métricas (1) y (3) obtienen una hiperbólica $\sinh{\chi}$ , cuando sustituye la transformación de coordenadas (4) (o $\tilde{r} = \sinh{\chi}$ ). Esto entonces implica el universo abierto , no el cerrado (que necesita una trigonométrica $\sin{\chi}$ ) !
Uy, lo siento, leí la publicación a toda prisa y lo leí mal.
¿No es su métrica (1) el disco de Poincaré, o una de sus muchas variantes?
@JohnRennie, la métrica (1) es una variante del "disco" de Poincaré (en 3D + tiempo) si $k = -1$ , pero creo que no es importante (¡es "solo" un nombre!). La mayoría de los autores definen la métrica RW con la métrica (3) (la métrica (1) parece ser menos conocida), pero una simple transformación de coordenadas radiales da la métrica (1). Misner-Thorne-Wheeler dan la métrica (1) en la página 722 como la métrica RW "verdadera" (de los artículos de 1935-1936 de Robertson y Walker). Tiene muchas ventajas de cálculo ya que es "isotrópico" y su sección espacial es conforme a la métrica euclidiana; $d\ell^2 = f(r)(dx^2 + dy^2 + dz^2)$ .
Tengo curiosidad porque después de revisar muchos textos y fuentes de Internet, no puedo encontrar ninguna mención de esta métrica (1) con un $r^2/4$ término. ¿Qué texto estabas usando? ¿De dónde vienen los 4? Además, casi todas las fuentes que pude encontrar tenían la $\frac{1}{(1+kr^2)^2}$ factor aplicado sólo a la $dr^2$ término, no al $d\Omega^2$ término. Supongo que pusiste esto textualmente del texto que estabas leyendo, por lo que me gustaría saber específicamente cuál es. Para que pueda leerlo para obtener más contexto y comprensión.
@Jim, esa métrica se proporciona en Misner-Thorne-Wheeler y también en Landau-Lifchitz, como una pequeña adición o ejercicio. Lo he visto en otros lugares también, pero no recuerdo en qué libro o periódico. Todos los otros libros que tengo están dando la versión (3) (con el $1/(1 - k \, \tilde{r}^2)$ factor frente a $d\tilde{r}^2$ . Vea la diferencia de signo delante de $k$ , por cierto, es importante). Puedes aplicar la transformación de coordenadas radiales que he dado para pasar de una versión a otra, es muy fácil. El 4 es un poco arbitrario, pero lo mantengo para satisfacer las convenciones. Nuevamente, intente la transformación (2).
Estoy revisando el problema específico al que te refieres. Creo que se cometieron algunos errores de cálculo. La métrica que dan no tiene un factor de escala porque está incluida en $K=k/a^2(t)$ . También enumeran la métrica en coordenadas cartesianas. En esto, $K$ no se limita a $K=-1,0,+1$ . $K$ puede tener cualquier magnitud. Además, si realiza el reemplazo de cartesiano a esférico, el texto indica en la página siguiente que debe obtener su (3) (excepto que debe haber un $1-Kr^2$ en el denominador porque $K$ todavía incluye $a$ .
Entiendo que puedes transformar a coordenadas esféricas sin imponer eso $2\pi r$ ser la circunferencia adecuada, pero aún no tiene un factor de escala en el numerador y $(1-\frac{r^2}{4a^2(t)})^2$ en el denominador. A lo que podría señalar que si $r>2a(t)$ , surge la misma pregunta. La diferencia es que en este caso, $a$ está en unidades de longitud, lo que en su mayoría hace que sea imposible tener $r>2a$ . Necesito seguir leyendo sobre eso, pero creo que es la razón por la que no hay más problemas en torno a esto y apuesto a que se menciona en los documentos de Robertson y Walker.
Incluso en el libro de texto, al principio de la página, hace referencia a $a(t)$ a veces se le llama el "radio del universo" en este formalismo. Como dije, voy a analizar esto un poco más, pero apuesto a que no es un problema real debido a la forma en que se define cada elemento. Probablemente esta pregunta equivalga a preguntar "¿Qué sucede si una coordenada es más grande que ella misma?"
@Jim, no hay error en ninguna parte. El factor de escala generalmente se factoriza por conveniencia y no tiene importancia para el tema que se analiza aquí. Puede establecerlo en 1 si lo prefiere. En el libro de MTW, el $K$ puede ser absorbido usando $K = \pm \, |K|$ , y luego absorbiendo $|K|$ en la coordenada radial. Así que te quedas $k = \pm 1, 0$ solamente (como lo que MTW está mostrando en su libro). En mi opinión, la métrica (1) debería ser mucho más mostrada y conocida. Asegúrese de ver claramente la diferencia en los factores $1/(1 + k \, r^2 / 4)^2$ (factor global) y $1/(1 - k \, \tilde{r}^2)$ .

Cham · Answer 1

Creo que he encontrado una comprensión completa y clara del segundo universo en la métrica RW (1) que se muestra en la pregunta. De hecho, es una segunda hoja de un hiperboloide de 2 hojas.

Para $k = -1$ , casi todos los autores derivan la métrica RW estándar como una pseudoesfera (en realidad, un hiperboloide de 2 hojas ) de ecuación

\begin{matrix} (1) & {tu}^{2} - X^{2} - y^{2} - z^{2} = a^{2}, \end{matrix}

$\tag{1} u^2 - x^2 - y^2 - z^2 = a^2,$ inmerso en un espacio plano ficticio de métrica pseudo-euclidiana

\begin{matrix} (2) & d ℓ^{2} = - d {tu}^{2} + d X^{2} + d y^{2} + d z^{2} . \end{matrix}

$\tag{2} d\ell^2 = -\: du^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2.$ La ecuación (1) es similar a la relación de capa de masa relativista especial

E^{2} - p_{x}^{2} - p_{y}^{2} - p_{z}^{2} = m^{2}

$E^2 - p_x^2 - p_y^2 - p_z^2 = m^2$ (dos hojas hiperboloide).

La mayoría de los autores utilizan una parametrización parcial, describiendo solo la mitad de la hipersuperficie (1):

\begin{aligned} (3) & tu (x, ϑ, φ) & = a aporrear x, \\ X (x, ϑ, φ) & = a pecado x pecado ϑ porque φ, \\ y (x, ϑ, φ) & = a pecado x pecado ϑ pecado φ, \\ z (x, ϑ, φ) & = a pecado x porque ϑ . \end{aligned}

$\begin{align}\tag{3} u(\chi, \vartheta, \varphi) &= a \cosh{\chi}, \\[6pt] x(\chi, \vartheta, \varphi) &= a \sinh{\chi} \, \sin{\vartheta} \, \cos{\varphi}, \\[6pt] y(\chi, \vartheta, \varphi) &= a \sinh{\chi} \, \sin{\vartheta} \, \sin{\varphi}, \\[6pt] z(\chi, \vartheta, \varphi) &= a \sinh{\chi} \, \cos{\vartheta}. \end{align}$ Como puede ver, esta parametrización está asumiendo

u \geq a

$u \ge a$ , y sin embargo la ecuación (1) también admite la misma parametrización con

u \leq - a

$u \le -\, a$ (cambiando el signo de

u

$u$ en 3)). Cuando sustituye la parametrización (3) en la métrica plana (2), obtiene la sección espacial de la métrica RW estándar, con

k = - 1

$k = -1$ y

0 < χ < \infty

$0 < \chi < \infty$ :

\begin{matrix} (4) & d s^{2} = d t^{2} - a^{2} (t) (d x^{2} + {pecado}^{2} x (d ϑ^{2} + {pecado}^{2} ϑ d φ^{2})) . \end{matrix}

$\tag{4} ds^2 = dt^2 - a^2(t) \big( d\chi^2 + \sinh^2 \chi \, (d\vartheta^2 + \sin^2 \vartheta \; d\varphi^2) \big).$ Entonces, esto es solo la mitad del hiperboloide , que es equivalente a hacer una elección topológica (es decir, eliminar la segunda parte de la hipersuperficie ficticia). Pero entonces, es fácil probar que la métrica completa de Robertson-Walker a continuación, con

r < 2

$r < 2$ y

r > 2

$r > 2$ , en realidad está describiendo el hiperboloide completo (1) (es decir, sus dos hojas desconectadas):

\begin{matrix} (5) & d s^{2} = d t^{2} - \frac{a^{2} (t)}{(1 - \frac{1}{4} r^{2})^{2}} (d r^{2} + r^{2} (d ϑ^{2} + {pecado}^{2} ϑ d φ^{2})) . \end{matrix}

$\tag{5} ds^2 = dt^2 - \frac{a^2(t)}{(1 - \frac{1}{4} \; r^2)^2} \big( dr^2 + r^2 (d\vartheta^2 + \sin^2 \vartheta \; d\varphi^2) \big).$ La singularidad de las coordenadas en

r = 2

$r = 2$ es simplemente el espacio entre ambas hojas del doble hiperboloide. El vínculo entre coordenadas

r

$r$ y

u

$u$ Es esto (

a

$a$ se considera como una constante aquí, como en la ecuación (1) y la parametrización (3)):

\begin{matrix} (6) & r = 2 \sqrt{\frac{tu - a}{tu + a}} . \end{matrix}

$\tag{6} r = 2 \, \sqrt{\displaystyle{\frac{u - a}{u + a}}}.$ En realidad es muy simple. No hay rareza, no hay misterio. La métrica (5) es consistente con la ecuación (1). Entonces, como elección topológica , es posible que realmente tenga dos universos hiperbólicos desconectados (es decir, universos "paralelos"), descritos por la extensión natural de la métrica (5) a todos los valores disponibles de la coordenada radial.

EDITAR: Estoy agregando algunas especulaciones divertidas. En el análisis anterior, ambos universos laminares se expanden exactamente a la misma velocidad (mismo factor de escala). $a(t)$ para ambas láminas hiperbólicas).

¿Podrían estas láminas ser un simple ejemplo de branas en el contexto de la Relatividad General clásica?
¿Podrían ser el "reverso" uno del otro, es decir, uno de materia y el otro de antimateria?
¿Podríamos generalizarlos a dos hojas de diferentes factores de escala, expandiéndose a un ritmo diferente; $a_{+}(t)$ y $a_{-}(t)$ , entonces tienen diferente cantidad o tipo de materia ? ¿Cómo sería una "generalización" de la métrica RW (5) en este caso?

Supongo que la respuesta es "Sí" a 1 y 2. En el caso de la pregunta 3, puede ser trivial; simplemente cambie el factor de escala a una función dependiente de la posición: $a(t, \, r) = a_{+}(t) \; \text{if} \; r < 2$ y $a_{-}(t) \; \text{if} \; r > 2$ .

Cosmología FLRW: ¿dos universos paralelos abiertos a partir de la métrica estándar k=−1k=−1k = -1?

Cham

Cham

Cham

Juan Rennie

Juan Rennie

Cham

Jim

Cham

Jim

Jim

Jim

Cham

Respuestas (1)

Cham

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