Suponiendo una masa total fija, ¿la geometría del espacio-tiempo fuera de una distribución de masa esférica dependerá de la forma (de la distribución)?

Gracias al teorema de Birkhoff , sabemos que el campo fuera de una masa aislada esféricamente simétrica siempre será la métrica de Schwarzschild. En otras palabras, la métrica se verá así justo fuera de la superficie del objeto

$$d s^2 = -\left(1 - \frac{2 M}{r}\right) d t^2 + \frac{1}{1 - 2M/r} dr^2 + r^2 d \Omega^2$$ dónde $d\Omega^2 = d\vartheta^2 + \sin^2\vartheta d \varphi^2$es el elemento de superficie de una esfera unitaria. Entonces, en cierto sentido, la geometría se ve igual fuera de los objetos esféricos en relatividad, uno solo cambia la posición de la superficie y el valor de $M$.

Sin embargo, le resultará sorprendente que incluso cuando toma el mismo número de partículas (por ejemplo, protones y electrones) de una masa en reposo total fija$M_0$y comprimirlo en un cuerpo de radio diferente, el valor resultante del parámetro$M$en la métrica puede ser algo diferente.

Por ejemplo, cuando hablamos de un cuerpo hecho de un fluido perfecto, podemos usar el análisis de Tolmann, Oppenheimer y Volkoff para ver que la masa gravitatoria puede entenderse como compuesta por tres contribuciones

$$M = M_0 + \delta M_\mathrm{thermo} + \delta M_\mathrm{binding}$$ $\delta M_\mathrm{thermo}$corresponde a la energía termodinámica interna del gas, y $\delta M_\mathrm{binding}$es la energía de enlace gravitacional. Cuando estamos cerca de un régimen newtoniano, la energía de enlace se puede expresar simplemente como la energía de enlace newtoniana (dividida por $c^2$) $$\delta M_\mathrm{binding} = -\int_0^\mathrm{surf.} \frac{G m_0(r) \rho_0 }{r c^2} 4 \pi r^2 dr$$ dónde $\rho_0$es la densidad de masa en reposo, y $m_0(r) = \int_0^r \rho_0(r') 4\pi r'^2dr'$es la masa en reposo contenida en la esfera de radio $r$.