Diagrama del espacio-tiempo para el universo de Robertson-Walker

No es trivial ver esto a partir de la descripción dada por Sean Carroll. La métrica FRW, como has comentado, puede tener una solución sencilla$a = t^p$para$(0<q<1)$. (La métrica que ha dado solo tiene una (t) en lugar de$a^2(t)$) Vemos que, por$t\rightarrow 0$, el factor de escala desaparece. Pero esto no responde a su pregunta de por qué los conos de luz no se encuentran como$t\rightarrow 0$.

Entonces, necesitamos calcular cómo varía la pendiente del cono de luz en el límite de fuga$t$. Para caminos nulos, (considerando solo la dirección$x$), la pendiente del cono está dada por

$$\begin{equation} ds^2 = 0 = -dt^2 + a^2(t)dx^2 \implies \frac{dx}{dt} = \pm \frac{1}{t^q} \end{equation}$$

Ahora ves que, por$t=0$, hay una singularidad (una singularidad temporal). no podemos tomar$q=0$por la definición. si pudiéramos tomar$q=0$, entonces no habría singularidad. Debido a los valores permitidos de q, los conos de luz son tangentes a la singularidad. Eso es para un pequeño$t>0$tienes una tangente asintótica. Esto marca la incompletud geodésica de tal manera que las geodésicas nulas no pueden extenderse al pasado.

El truco es que podemos hacer una transformación conforme y ver que, aunque la pendiente del cono de luz sea tangencial en el tiempo de coordenadas ($\tau$), necesitaríamos un tiempo conforme finito para alcanzar la singularidad. Esto marca el horizonte de partículas (por definición). Vea la imagen aquí . Hay otras líneas de mundo de partículas que no se cruzan con el pasado del cono.