La integral de trayectoria y los diagramas de Feynman

Por ejemplo, ¿cómo se le ocurrió interpretar el propagador como la propagación de partículas?

La integral de trayectoria generalmente se presenta como un elemento de matriz del operador de evolución temporal.

$$\langle x_f\lvert\mathrm e^{-\frac{\mathrm i}{\hbar}\hat{H}(t_f-t_i)}\lvert x_i\rangle,$$ que es una medida de la probabilidad de encontrar un sistema en estado y tiempo final $x_f,t_f$cuando estaba en estado $x_i$en el momento $t_i$inicialmente. Es bastante plausible llamarlo propagador ya que da acceso inmediato a la probabilidad de que un sistema, tal vez solo una partícula, se propague desde el estado $x_i$a $x_f$a tiempo $t_f-t_i$. Probablemente sea más difícil entender que esta noción aún se mantenga cuando se utiliza la integral de trayectoria para calcular la suma de la gran partición en estadística cuántica.

¿Se puede obtener alguna comprensión aprendiendo cómo se desarrolló originalmente la técnica?

La idea de simbolizar fórmulas por nodos y conexiones entre ellos se usa en muchos otros campos y probablemente no era nueva en ese momento. La idea es básicamente la de un isomorfismo entre una clase de gráficos y, dada una regla de traducción inequívoca, las fórmulas en cuestión. Esto proporciona una conexión intuitiva con la teoría de grafos y facilita su aplicación, por ejemplo, cuando un diagrama se denomina 'conectado' o 'desconectado', lo que significa que la fórmula respectiva se puede factorizar o no. Otro ejemplo de este tipo que no está relacionado con Feynman es el tratamiento esquemático del modelo clásico de Ising.

Me enseñaron que los diagramas de Feynman surgieron como una forma inteligente de escribir los complejos cálculos que aparecen en el enfoque perturbativo de la integral de trayectoria.

La piedra angular es la bien conocida regla de Wick, que permite calcular integrales de correlaciones estándar y Grassmannianas con medidas gaussianas, por ejemplo, una expresión como

$$\int dx_1\cdots dx_n \ x_{j1}\cdots x_{jn} \ \exp\{- (\hat{x},A\hat{x})\}$$ se reescribe como una suma de varios términos, uno para cada forma de "contraer" todas las $x_{j1}\cdots x_{jn}$en parejas. En particular, cada pareja de $x$'s contratado, dará también un aporte proporcional a una entrada de la inversa de $A$.

En la formulación de la integral de trayectoria aplicada a QFT necesitaremos calcular integrales similares donde el$x$se reemplazan con campos, y el$A$del término cuadrático es un objeto menos trivial, pero se supone que la regla de Wick sigue siendo cierta. (Al menos, eso me enseñaron.) El inverso de$A$necesita una generalización adecuada, y se toma como su función de Green, por lo que verá que la regla de Wick hará que aparezcan los propagadores.

Para describir teorías que interactúan, necesita términos adicionales en el argumento exponencial, como$(\hat{J},\hat{x})$o$\hat{x}{}^4$. Esto arruina el juego ya que ahora la regla Wick ya no se aplica. Aquí entra la idea de desarrollar la exponencial de los nuevos términos$(\exp\{f(x)\} = 1 + f(x) + f(x)^2/2 + \cdots)$, por lo que te encuentras con una serie de integrales computables mediante la regla de Wick. Dependiendo del tipo de campo, bosónico (integral estándar) o fermiónico (integral de Grassmann), y de los términos que hayas puesto en la exponencial, puedes representar las contracciones de la regla de Wick de forma pictórica respetando algún conjunto de reglas (la regla de Feynman). reglas), por supuesto los dibujos obtenidos son los diagramas de Feynman.

En general tendrás vértices para cada campo que aparece en la integral (fuera de la exponencial de la medida gaussiana) y las contracciones entre pares estarán representadas por líneas.

Una referencia que encuentro muy interesante es "Non-perturbative renormalization" de Vieri Mastropietro, en la sección "Medidas Grassmannianas" se presentan los diagramas de Feynman como una forma muy natural de representar la regla de Wick para la integral Grassmanniana, sin mencionar nada sobre QFT.

Leí en uno de los libros de Feynman o en la biografía Genius: The Life and Science of Richard Feynman de James Gleick, que Feynman estaba en una conferencia en una habitación de hotel tratando de resolver algún camino integral, en pijama, y ​​en algún momento El punto se encontró rodeado por un montón de hojas de papel, cada una de las cuales contenía un término en una expansión de perturbación. Estos eran básicamente los llamados diagramas de Feynman. Si mal no recuerdo (no tengo el libro frente a mí) se reunió con otra persona en la conferencia que había usado una idea similar y se dieron cuenta de que era una buena idea y la compartieron con otros.

PD Ese libro de Gleick es realmente bueno.

EDITAR: Según los comentarios a continuación, la historia que recuerdo proviene de El placer de descubrir cosas . Además, la explicación real de dónde provienen los diagramas aparece en el libro unas pocas páginas antes de la historia que describí.