Encontrar las reglas de Feynman para reducción/pseudo-QED

Escribamos la acción e investiguemos cada término individualmente.

$$S = \int d^{d+1}x \Big[ \delta(x^d)\bar{\psi}\iota\gamma^\mu (\partial_\mu + ieA_\mu) \psi(x)-\frac{1}{4}F^{\hat{\mu}\hat{\nu}}F_{\hat{\mu}\hat{\nu}}(x) -\frac{1}{2}(\partial^{\hat{\mu}}A_\hat{\mu})^2(x) \Big]$$

El primer término es el término cinético para el campo fermiónico (electrón sin masa) y por lo tanto define el propagador. Primero, integramos la función delta.

$$\newcommand{\fsl}[1]{#1\kern-0.4em\raise0.22ex\hbox{/}} \int d^{d+1}x \ \delta(x^d)\bar{\psi}\iota \fsl{\partial} \psi(x) = \int d^dx \ \bar{\psi}\iota \fsl{\partial} \psi(x)$$

La función de Green se define usando

$$\iota \fsl{\partial} S_F (x-y) = \iota \delta^{(d)}(x-y) \, ,$$

que en el espacio de cantidad de movimiento implica

$$\fsl{k} \tilde{S}_F(k)=\iota$$ $$\Rightarrow \boxed{\tilde{S}_F(k) = \frac{\iota}{\fsl{k}}}$$

El siguiente término en la acción da la interacción entre la luz y los electrones. Llegaremos a eso en breve. Los dos últimos términos constituyen el propagador de los fotones. Como de costumbre, reescriba las intensidades del campo electromagnético en términos del campo de calibre y luego encuentre la función de Green correspondiente en el espacio de momento.

$$\begin{align*} \int d^{d+1}x \ \Big[ -\frac{1}{4}F^{\hat{\mu}\hat{\nu}}F_{\hat{\mu}\hat{\nu}}-\frac{1}{2}(\partial^{\hat{\mu}}A_\hat{\mu})^2 \Big] &= \int d^{d+1}x \ \Big[ -\frac{1}{2} A^\hat{\mu}(-\eta_{\hat{\mu} \hat{\nu}}\partial^2 + \partial_\hat{\mu}\partial_\hat{\nu}) A^\hat{\nu} + \frac{1}{2} A^\hat{\mu}\partial_\hat{\mu}\partial_\hat{\nu} A^\hat{\nu} \Big] \\ &= \int d^{d+1}x \ \Big[ -\frac{1}{2} A^\hat{\mu} (-\eta_{\hat{\mu} \hat{\nu}}) \partial^2 A^\hat{\nu} \Big] \\ \end{align*}$$

Por lo tanto, obtenemos la función de Green de la siguiente manera.

$$\eta_{\hat{\mu} \hat{\lambda}} \partial^2 {D_F}^{\hat{\lambda}\hat{\nu}}(x-y) = \iota \ {\delta_\hat{\mu}}^\hat{\nu} \delta^{(d)}(x-y)$$

$$\Rightarrow -k^2 \eta_{\hat{\mu} \hat{\lambda}} \ {\tilde{D}_F}^{\hat{\lambda}\hat{\nu}}(k) = \iota \ {\delta_\hat{\mu}}^\hat{\nu}$$

$$\Rightarrow \boxed{ {\tilde{D}_F}^{\hat{\lambda}\hat{\nu}}(k) = \frac{-\eta_{\hat{\lambda}\hat{\nu}} } {k^2} } \, ,$$

dónde$k^2 = k_\hat{\mu} k^\hat{\mu}$.

Ahora, investiga el término final en la acción. Tenga en cuenta que la interacción ocurre con el campo de fotones solo en la brana d (el vector de polarización de un fotón que interactúa se encuentra completamente en el$d$-brana). Podemos integrar con seguridad la función delta.

$$\int d^{d+1}x \ \delta(x^d)\bar{\psi}\iota \gamma^\mu (\iota e A_\mu) \psi = \int d^dx \ \bar{\psi}(-e) \fsl{A} \psi$$

Recuerde que la función de correlación tiene un$e^{iS}$dentro del ordenamiento temporal que expandimos perturbativamente antes de realizar las contracciones de Wick (alternativamente, la integral generadora es una integral funcional de la exponencial anterior). Por tanto, el vértice de interacción aportaría un término proporcional a$-\iota e \gamma^\mu \int d^dx$que en el espacio de cantidad de movimiento nos daría la siguiente expresión.

Como observación final, tenga en cuenta que dado que la polarización del fotón se alineó a lo largo de la$x^d$-el eje se desacopla del$d$-brana interacciones, podemos ignorar con seguridad el$\hat{\mu}=d$términos del numerador del propagador de fotones.

Por favor, avíseme si cometí algún error conceptual.