¿La independencia temporal de la energía potencial implica la independencia temporal del hamiltoniano en mecánica cuántica?

Considere un sistema de mecánica cuántica para una partícula con hamiltoniano H ^ = pag ^ 2 2 metro + V ^ dónde V ^ es el operador de energía potencial. y ahora supongamos que V ^ es independiente del tiempo. ¿Se sigue que H ^ es independiente del tiempo?

En particular, me interesa el caso de pozos potenciales/barreras potenciales/ d potenciales donde esto parece ser utilizado en cada tratamiento que he encontrado hasta ahora.

Mis pensamientos: en general, dado que las funciones de onda pueden depender del tiempo, también pueden pag ^ por su propia definición y por lo tanto H ^ puede ser dependiente del tiempo. Sin embargo, me pregunto si V ^ ser independiente del tiempo ya produce la restricción de que las funciones de onda no dependen del tiempo y, por lo tanto, pag ^ tampoco. Esto parece una especie de razonamiento circular y no estoy seguro de cómo continuar aquí.

pag ^ es un operador. Puede actuar sobre funciones de onda, pero ¿por qué variaría con el tiempo simplemente porque las funciones de onda pueden variar con el tiempo? No entiendo tu tren de pensamiento aquí.
@ACuriousMind Creo que la "independencia temporal" de un operador T ^ medio T ^ ψ ( X , t ) = T ^ ψ ( X , t ~ ) para todos los tiempos t y t ~ . ¿O estoy confundiendo las cosas?
No, eso no es lo que significa la independencia del tiempo. Por lo general, solo queremos decir que el operador no depende explícitamente del tiempo.
@ACuriousMind ¡Entendido, gracias! Así que si mi entendimiento es correcto, H ^ en lo anterior es realmente independiente del tiempo.
@ACuriousMind no es esto puramente matemático, no muestra ningún esfuerzo de OP y debe hacerse [cerrado], pero aún así esto no se cierra, pero se cierra una publicación de esfuerzo: /
@Aditya Esta pregunta no es puramente matemática, ya que lo que constituye un operador dependiente del tiempo es una pregunta física importante. Si tiene un problema con el cierre de su pregunta, sería más productivo plantear el problema en el tablón de metadatos en lugar de en los comentarios a preguntas que no tienen nada que ver.

Respuestas (1)

Tal vez sería útil tener una visión más abstracta por un momento.

Un operador lineal A ^ en un espacio de Hilbert H es un mapa lineal de H → H . Si H = L 2 ( R ) , entonces los elementos del espacio de Hilbert consisten esencialmente en funciones integrables al cuadrado de una variable real, que generalmente interpretamos como la posición de una partícula en una línea.

Ejemplos de tales operadores podrían incluir X ^ o PAG ^ , que actúan sobre vectores adecuados F ∈ L 2 ( R ) para producir otros vectores

( X ^ F ) ( X ) = X F ( X )
( PAG ^ F ) ( X ) = − i ℏ F ′ ( X )

Dicho de otra manera, un operador es solo una regla para tomar una función integrable al cuadrado y escupir otra función integrable al cuadrado.

Por el contrario, considere la familia de operadores q ^ ( t ) Vectores de which eat F ∈ L 2 ( R ) y escupir

( q ^ ( t ) F ) ( X ) = ( X + t 2 ) F ( X )

Note que para cada t , q ^ ( t ) es un operador diferente . q ^ ( 0 ) es solo X ^ , mientras q ^ ( 1 ) multiplica la función de onda por ( X + 1 ) , y q ^ ( − 17 ) multiplica la función de onda por ( X + 289 ) , etcétera. Normalmente llamamos q ^ un operador dependiente del tiempo , que es una forma diferente de decir que la regla por la cual los vectores se asignan a otros vectores es diferente para cada valor de t .

Habiendo hecho esta distinción, la respuesta a su pregunta se vuelve clara. X ^ , que codifica la regla "multiplicar la función de onda por X ," y PAG ^ , que codifica la regla "diferenciar la función de onda y multiplicar por − i ℏ , son independientes del tiempo porque esas reglas no cambian con el tiempo. De manera similar, si el operador de energía potencial está dado por algún V ( X ^ ) que codifica la regla "multiplicar la función de onda por V ( X ) ", entonces también es un operador independiente del tiempo.

En contraste, el operador (o alternativamente, la familia de operadores) tu ( X ^ , t ) que codifica la regla "multiplicar la función de onda por X + pecado ⁡ ( t ) depende del tiempo porque la regla es diferente para diferentes valores de t ; por ejemplo, tu ( X ^ , 0 ) codifica la regla "multiplicar la función de onda por X " mientras tu ( X ^ , π / 2 ) codifica la regla "multiplicar la función de onda por X + 1 ".

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