¿Hay un operador de tiempo en la mecánica cuántica?

La pregunta en el título se ha hecho muchas veces en este sitio antes, por supuesto. Esto es lo que encontré:

  1. ¿Tiempo como operador hermitiano en QM? en 2011. La respuesta indica que el tiempo es un parámetro.
  2. ¿Existe un observable del tiempo? en 2012. La respuesta de Arnold Neumaier cita encuestas en la literatura y resume muy brevemente la prueba de Pauli de 1958: si un operador de tiempo satisfizo un CCR con el hamiltoniano, implicaría que el espectro del hamiltoniano es ilimitado a continuación.
  3. ¿Por qué no hay un operador de tiempo en QM? en marzo de 2013. Cerrado como duplicado sin respuesta.
  4. ¿Qué son los Operadores de Tiempo en Mecánica Cuántica? en noviembre de 2013. La respuesta establece de manera confusa que no hay un operador de tiempo, luego describe un operador de tiempo. Luego cerrado como duplicado.
  5. ¿Cuál es la forma correcta de tratar a los operadores que tienen "tiempo" en QM? en febrero de 2016. La respuesta describe un operador de tiempo explícito, pero señala que la multiplicación por t no produce un L 2 ( R ) función ya que la norma se conserva en el tiempo.
  6. Permítanme vincular también ¿Por qué la derivada del tiempo no se considera un operador en la mecánica cuántica? , por que i ℏ ∂ ∂ t no se puede considerar como el operador hamiltoniano? , El tiempo en la relatividad especial y la mecánica cuántica , y ¿Por qué el principio de incertidumbre de Heisenberg no se establece en términos de espacio-tiempo? que abordan preguntas ligeramente diferentes, pero contienen discusiones relacionadas.
  7. También tenemos el operador Posición en QFT , donde Valter Moretti señala que una construcción sensata de operadores de coordenadas en QFT relativista produce los operadores de Newton-Wigner, pero solo para las coordenadas espaciales, ya que no existe ninguno para la coordenada temporal del teorema de Pauli.
  8. Y fuera de physics.se, un gran recurso es el sitio web de John Baez, donde tiene una nota The Time-Energy Uncertainty Relation que menciona que, según Stone-von Neumann , un operador de tiempo que satisfaga un CCR con el hamiltoniano necesitaría que el hamiltoniano no tuviera límites. espectro.

¿Debería tomarse el teorema de Pauli (que probablemente sea un corolario del teorema de Stone-von Neumann), como se menciona en algunas de las respuestas, como la respuesta definitiva? La mayoría de las fuentes parecen estar de acuerdo.

Pero algunas de estas respuestas parecen estar ignorando a un elefante: en una teoría relativista, el tiempo y el espacio se tratan en pie de igualdad. Si hay operadores espaciales, seguramente debe haber un operador de tiempo. De hecho, algunos de los comentarios en las preguntas anteriores se refieren al capítulo 1 del libro de Srednicki . Permítanme citar el pasaje relevante:

Una [opción para combinar la mecánica cuántica y la relatividad] es degradar la posición de su estado como operador y convertirla en una etiqueta adicional, como el tiempo. La otra es promover el tiempo a un operador.

Discutamos primero la segunda opción. Si el tiempo se convierte en un operador, ¿qué usamos como parámetro de tiempo en la ecuación de Schrödinger? Afortunadamente, en las teorías relativistas hay más de una noción de tiempo. Podemos usar el tiempo propio τ de la partícula (el tiempo medido por un reloj que se mueve con ella) como parámetro de tiempo. El tiempo coordinado T (el tiempo medido por un reloj estacionario en un marco de inercia) luego se promueve a un operador. En la imagen de Heisenberg (donde el estado del sistema es fijo, pero los operadores son funciones del tiempo que obedecen a las ecuaciones clásicas de movimiento), tendríamos operadores X m ( τ ) , donde X 0 = T . De hecho, la mecánica cuántica relativista puede desarrollarse siguiendo estas líneas, pero es sorprendentemente complicado hacerlo.

En un párrafo posterior, señala que promover todas las coordenadas a operadores, incluido el tiempo, es exactamente lo que es la teoría de cuerdas, aunque con la complicación adicional de que hay un parámetro adicional.

Entonces, ¿cómo reconciliamos estos dos campos? ¿Es el teorema de Pauli incompatible con las consideraciones relativistas? ¿Es realmente un problema si el espectro de su hamiltoniano no está limitado por debajo? ¿Por qué no hay un operador de Newton-Wigner similar al tiempo? ¿Existe de hecho una teoría cuántica relativista que incluya un operador cuyos valores propios sean coordenadas de tiempo?

Siento que las respuestas existentes en el sitio no abordaron este problema, por lo que espero algunas respuestas nuevas que lo analicen desde esa perspectiva.

Si todos dicen lo mismo (que el tiempo no es un operador), ¿cuál es la pregunta?
@KyleKanos: Las respuestas de physics.se y el teorema de Pauli se contradicen con la respuesta de Srednicki, así como con el ejemplo explícito de la teoría de cuerdas.
@ziggurism ¿Hay un operador de tiempo en la teoría de cuerdas?
@AGML: hasta donde yo sé, el operador básico en la teoría de cuerdas es la coordenada del espacio-tiempo, incluida la coordenada temporal.
La teoría de cuerdas es una pista falsa: sí, las "coordenadas" del espacio de destino son operadores, pero el QFT vive en la hoja mundial , no en el espacio de destino. No hay ningún "operador de tiempo de hoja de mundo", las coordenadas de la hoja de mundo son solo etiquetas. No hay contradicción.
@ACuriousMind: no estoy buscando un operador de tiempo de hoja mundial o un operador de "tiempo adecuado". Estoy buscando un operador de coordenadas de tiempo.
@ACuriousMind: la teoría de cuerdas es una QFT en dimensiones 1+1, cuyos parámetros son el parámetro de cuerda y el tiempo adecuado, y cuyos operadores incluyen un operador de coordenadas temporal. Si eso es posible, ¿por qué no un QFT dimensional 0+1 cuyo parámetro es el tiempo propio y cuyos operadores incluyen un operador de coordenadas temporal?
La teoría de cuerdas tiene una CFT 1+1 con un "operador de tiempo" para un espacio de destino 10D completamente no relacionado. Que puede tener en cualquier QFT, pero eso no es lo que la gente quiere decir cuando dice que un operador de tiempo está prohibido; quieren decir que un operador para la coordenada de tiempo del espacio-tiempo d+1 en el que vive QFT está prohibido .
Echa un vistazo a esto sobre el teorema de Pauli arxiv.org/abs/quant-ph/0211047
@ACuriousMind: QM estándar se puede ver como QFT en 0+1 dim, con una colección de operadores en un espacio-tiempo de destino (o solo espacio). Entonces, su afirmación parece violar el teorema de Pauli.
@annav: Gracias por la referencia. Podemos incluir a Chen y Wang junto con Srednicki en la lista de personas que piensan que hay un operador de tiempo en la mecánica cuántica.
Position Operators and Proper Time in Relativistic Quantum Mechanics de Joseph E Johnson, Physical Review 1969, analiza la adición de un operador de 4 posiciones al álgebra de Poincaré.
Este artículo de Mir-Kasimov y este de DR Grigore discuten el papel de los operadores de Newton-Wigner como el operador de posición apropiado en QM relativista y su covarianza. Pero tampoco se mencionan los operadores de tiempo.
physics.stackexchange.com/questions/34947/… p.se hilo me llevó al artículo [¿No hay lugar para las partículas en las teorías cuánticas relativistas? ]( philsci-archive.pitt.edu/195/1/archive.pdf ) por Hans Halvorson y Rob Clifton. Era un poco abstracto, pero parecía que podría ser relevante.
El artículo Tiempo en mecánica cuántica relativista y no relativista de Hrvoje Nikolić argumenta que hay un operador de tiempo, y si ponemos pag 0 = ∂ ∂ t en lugar de pag 0 = H , es compatible con el teorema de Pauli, ya que ese operador no está acotado por debajo. Él dice que los estados propios del operador de tiempo no se pueden escribir en términos de soluciones de EOM, pero esto está bien.
physics.stackexchange.com/a/17479/9606 también parece relevante

Respuestas (2)

Simplemente abra cualquier cadena de texto que tenga una discusión sobre la partícula puntual relativista.

http://arxiv.org/abs/0908.0333 - Sección 1 por ejemplo o Green, Schwartz, Witten Volumen 1

remates:

1) El tiempo se puede introducir como operador, pero es necesario introducir un parámetro de 'tiempo adecuado' con el que evoluciona el sistema. Al hacer esto, introduce una redundancia de calibre que debe tenerse en cuenta al hacer la integral de ruta.

2) El hamiltoniano de tiempo propio se desvanece. Entonces, todo lo que dice la "ecuación de Schroedinger" es que las funciones de onda no dependen del tiempo adecuado.

3) El momento canónico que cuantificas pag m = ∂ L ∂ X ˙ m → − i ∂ m no son independientes: pag 2 + metro 2 = 0

4) Imponer esa restricción a la función de onda te da la ecuación de Klein-Gordan. Si intentas resolverlo, obtienes soluciones de 'energía negativa'. Este es el problema del espectro ilimitado. La interpretación correcta es que estos modos representan 'antipartículas': soluciones de energía positiva que viajan hacia atrás en el tiempo.

¿Es esa última parte sorprendente? No me parece. Usted exigió un formalismo que trate el tiempo y el espacio por igual y obtuvo soluciones que pueden viajar hacia atrás y hacia adelante en el espacio. Parece razonable esperar que obtenga cosas que viajan hacia atrás y hacia adelante en el tiempo. Esto no te permite romper la causalidad. De hecho, esta es una característica de la relatividad y eliminarla rompe la causalidad.

A partir de aquí, podría hacer el mismo tipo de cosas para las partículas giratorias o comenzar a incluir interacciones, pero con toda honestidad, el formalismo de una sola partícula no es tan útil para describir las interacciones. La física exige una descripción de muchas partículas/campos para describir las interacciones. Por supuesto, podrá recuperar esto y la mecánica cuántica no relativista, en los límites apropiados.

Esas notas de Tong no decían qué eran los CCR y no discutían si un operador de tiempo era compatible con el resultado de Pauli o Stone-von Neumann, que es lo que estoy buscando. Supongo que está bien para el operador. i ∂ t tener un espectro ilimitado en una teoría relativista (¿estados de energía negativa o algo así?), por lo tanto, también podemos tener un operador de tiempo conjugado para ∂ t .
cuantización pag m → − i ∂ m es asi que [ X m , pag v ] = i d m v y si pag 0 tendrá un espectro ilimitado: anti-partículas.
Reemplazar d con η mi cerebro está confuso por el día de acción de gracias
Y entonces, todas esas personas que dicen que no puede haber un operador de tiempo en la mecánica cuántica, en realidad solo están hablando de un tipo particular de mecánica cuántica más simple, sin la invariancia de reparametrización, donde necesitamos i ∂ t = H estar semiacotado.
Sí, están hablando de cuánticos no relativistas donde hay una noción de tiempo universalmente acordada y es un parámetro en lugar de un operador. Eso es lo que suele preguntar la gente con estas preguntas de SE. Fíjate ahí que i ∂ t ≠ H como el tiempo no es un operador en el operador en el espacio de Hilbert
¿Qué quieres decir? ¿No es simplemente la ecuación de Schrödinger? t no es un operador, pero ∂ t es, y concuerda con el hamiltoniano. El espacio de Hilbert (en la imagen de Schrödinger) son funciones de onda dependientes del tiempo.
¡No, no, eso es lo que esas publicaciones de SE están tratando de describir! La ecuación de Schroedinger es cierta pero no se puede igualar i ∂ t con H ^ ! (Sería casi similar a equiparar los valores propios de un operador con el operador) Mire la expresión relativista análoga, i ∂ τ no es un operador en el espacio de Hilbert y ciertamente no es 0, que es lo que usted calcularía. Si t no es un operador entonces ∂ t no puede ser un punto de operador completo.
Ok, tienes razón, es una tontería reclamar i ∂ t = H . Esa ecuación se cumple solo cuando se aplica a las soluciones de la ecuación de Schrödinger, no en todo el dominio de los operadores (un gran espacio de Hilbert). seria como resolver d y / d X = k y y luego concluyendo que la diferenciación y la multiplicación escalar son la misma operación. O resolviendo 2 X = X + 1 y concluyendo que duplicar e incrementar es lo mismo. Ups.
Pero estoy confundido por qué deberíamos decir ∂ t no es un operador. Por ejemplo, hagamos el oscilador armónico. ¿Cuál es el dominio de las funciones de onda dependientes del tiempo, algo así como L 2 ( R 2 ) ? Los elementos serán algo así como mi − X 2 mi i ω t . Y ∂ t rendirá i ω mi − X 2 mi i ω t ... para el caso, la multiplicación por t también dará algo en el espacio... Ahora estoy confundido de nuevo.
mi i ω t por supuesto que no L 2 , así que eso no está bien. Releí ¿Por qué la derivada del tiempo no se considera un operador en la mecánica cuántica? , donde la respuesta de ACuriousMind es que la derivada temporal es un operador en C 1 ( R , H ) , donde H es el espacio de Hilbert de estados independientes del tiempo.
OK, lo siento, pero tengo una pregunta más. No hay nada que ver con la relatividad especial en esta respuesta, ¿verdad? Por ejemplo, podríamos optar por agregar un parámetro diferente a nuestro QM no relativista (como se hace para un oscilador armónico clásico en la restricción hamiltoniana ), y luego nuestra teoría podría tener un operador de tiempo coordinado. Por el contrario, uno podría elegir usar el tiempo (en algún marco fijo) para parametrizar su teoría relativista, y la teoría cuántica no tendría un operador de tiempo en la teoría cuántica relativista.
El punto no es si la teoría es relativista o no. El punto es que cualquier parámetro que use para su dinámica, ese parámetro no puede ser también un operador cuántico. ¿Es correcto?
Bueno, por definición, si algo es un parámetro, entonces no es un operador en el espacio de Hilbert. Para escribir una acción (y por lo tanto la integral de trayectoria) generalmente/necesitamos (?) expresarla como una integral sobre algún parámetro. En la versión no relativista de la mecánica cuántica ese parámetro es el tiempo (que es el tiempo de todos) y en el tratamiento relativista es el "tiempo propio" y el tiempo verdadero es un operador. Esto termina implicando que el generador de la verdadera evolución en el tiempo − i ∂ t tiene un espectro ilimitado.
Usted puede hacer QM no relativista donde el tiempo verdadero sigue siendo un operador comenzando con la formulación relativista y haciendo la expansión de Taylor apropiada del término cinético. Realmente no he pensado en esto principalmente porque no parece una herramienta tan útil. Todavía obtendría que el generador de evolución en tiempo real tiene un espectro ilimitado, pero probablemente podría descartar esas soluciones ya que no está limitado por la causalidad.
Correcto, pero estas son solo convenciones. Es posible considerar QM no relativista con un parámetro diferente al tiempo de coordenadas (y entonces el tiempo podría ser un operador), y también se permite parametrizar un sistema relativista por el tiempo de coordenadas, aunque no será manifiestamente covariante. Y entonces no tendríamos un operador de tiempo.
Sí, la serie de Taylor de fórmulas relativistas es una forma no covariante de obtener un hamiltoniano relativista parametrizado por tiempo.

Esta es una de las preguntas abiertas en Física.

JS Bell sintió que había un choque fundamental en la orientación entre la QM ordinaria y la relatividad. Intentaré explicar su sentimiento.

Toda la orientación fundamental de la Mecánica Cuántica es no relativista. Aunque, obviamente, QM puede hacerse relativista, va contra la corriente hacerlo, porque todo el concepto de medición, tal como se desarrolla en QM normal, se desmorona en QM relativista. Y una de las razones por las que lo hace es que no hay un operador de tiempo en QM ordinario, el tiempo no es un observable que se mide en el mismo sentido que la posición. Sin embargo, como usted y otros han señalado, en una teoría verdaderamente relativista, el tiempo no debe tratarse de manera diferente a la posición.

Supongo que Srednicki simplemente se ha dado cuenta de este problema y ha pedido una respuesta. Este problema sigue sin resolverse. Hay una insatisfacción general con los operadores de Newton-Wigner por varias razones, y la teoría relativista de la medición cuántica no está tan bien desarrollada como la teoría no relativista.

Es notable que QFT, la forma más aceptada y útil de unificar las teorías cuánticas y de la relatividad, en realidad no posee la misma estructura lógica que la QM ordinaria: los campos cuánticos se describen mediante funciones en el espacio-tiempo en lugar de funciones de onda de un sistema de muchas partículas en una polarización en un espacio de fase. Esto se debe a toda la diferencia filosófica entre la relatividad y la QM ordinaria: la relatividad otorga una posición privilegiada a las coordenadas espacio-temporales. Pero QM usa el espacio de fase, uno de dimensiones muy altas, y luego elige la mitad de las variables (p. ej., solo las posiciones de todas las partículas) para sus variables. (Esto es llamado, por ejemplo, por Souriau y Vergne, una polarización.) QFT abandona esta técnica QM usando números de ocupación u operadores en lugar de funciones de onda, pero así se aleja de toda la estructura de QM ordinaria.

Realmente me gusta su respuesta, ¿puede aclarar dónde QM solo "selecciona la mitad de las variables". ¿Es esto debido a la representación como una señal analítica compleja o que proyectamos sobre un <ket| que mide la posición y no la posición + impulso al obtener una cantidad "medible"?
Sí. Ejemplo: El espacio de fase clásico para un sistema de dos partículas tiene doce dimensiones: tres variables de posición para la primera partícula, tres más para la segunda. Tres variables de cantidad de movimiento para la primera partícula, tres más para la segunda. Una polarización elige la mitad de estos: por ejemplo, la posición x y la posición y y el momento z para la primera partícula, y la posición x y el momento y y el momento z para la segunda partícula. Una elección estúpida, pero un buen ejemplo. Un ejemplo más habitual: elija las variables de impulso para ambas partículas.
¿Puede dar algunas referencias para su último párrafo? ¿Son Souriau y Vergne un libro o un artículo o simplemente nombres de dos personas?
¿Hay un operador de tiempo en la mecánica cuántica?
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v