¿Versión equivalente del principio de incertidumbre de la energía del tiempo de la aproximación repentina?

Question

¿Versión equivalente del principio de incertidumbre de la energía del tiempo de la aproximación repentina?

Física
operadores
hamiltoniano
función de onda
mecánica cuántica
Principio de incertidumbre de Heisenberg

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Entonces digamos que tengo $2$ partículas que interactúan con un potencial $V(\vec r_1- \vec r_2)$ . El hamiltoniano de este sistema viene dado por:

H ψ ({\vec{r}}_{1}, {\vec{r}}_{2}) = \frac{{\vec{pag}}_{1} \cdot {\vec{pag}}_{1}}{2 metro} ψ ({\vec{r}}_{1}, {\vec{r}}_{2}) + \frac{{\vec{pag}}_{2} \cdot {\vec{pag}}_{2}}{2 metro} ψ ({\vec{r}}_{1}, {\vec{r}}_{2}) + V ({\vec{r}}_{1} - {\vec{r}}_{2}) ψ ({\vec{r}}_{1}, {\vec{r}}_{2})

$H \psi( \vec r_1, \vec r_2) = \frac{ \vec p_1 \cdot \vec p_1 }{2m} \psi( \vec r_1, \vec r_2) + \frac{\vec p_2 \cdot \vec p_2}{2m} \psi( \vec r_1, \vec r_2) + V(\vec r_1 - \vec r_2 ) \psi( \vec r_1, \vec r_2)$

Dónde $H$ es el hamiltoniano, $p_i$ es el impulso de la $i$ 'th partícula y $V(\vec r_1 - \vec r_2)$ es la posición relativa entre ambas funciones de onda $\psi(x_1,x_2)$ . Ahora, digamos que "de repente" reduzco el desplazamiento en $\vec c$ .

Pero la aproximación repentina puedo escribir fácilmente el nuevo hamiltoniano como:

H^{'} ψ ({\vec{r}}_{1}, {\vec{r}}_{2}) = \frac{{\vec{pag}}_{1} \cdot {\vec{pag}}_{1}}{2 metro} ψ ({\vec{r}}_{1}, {\vec{r}}_{2}) + \frac{{\vec{pag}}_{2} \cdot {\vec{pag}}_{2}}{2 metro} ψ ({\vec{r}}_{1}, {\vec{r}}_{2}) + V ({\vec{r}}_{1} - {\vec{r}}_{2} - \vec{C}) ψ ({\vec{r}}_{1}, {\vec{r}}_{2})

$H' \psi( \vec r_1, \vec r_2) = \frac{ \vec p_1 \cdot \vec p_1 }{2m} \psi( \vec r_1, \vec r_2) + \frac{\vec p_2 \cdot \vec p_2}{2m} \psi( \vec r_1, \vec r_2) + V(\vec r_1 - \vec r_2 -\vec c) \psi( \vec r_1, \vec r_2)$

Donde hay un cambio "repentino" en hamiltoniano:

H \to H^{'}

$H \to H'$

Sin embargo, dado que al universo solo le importa la posición relativa y no la posición real (inserte aquí la filosofía de la relatividad general), debería ser imposible distinguir esta situación de decir si las funciones de onda "repentinamente" fueron traducidas por el operador de traducción ( para partícula $2$ ) $T_{2}(\vec c)$

ψ ({\vec{r}}_{1}, {\vec{r}}_{2}) \to T_{2} (\vec{C}) ψ ({\vec{r}}_{1}, {\vec{r}}_{2}) = ψ ({\vec{r}}_{1}, {\vec{r}}_{2} + \vec{C}) = ψ^{'} ({\vec{r}}_{1}, {\vec{r}}_{2})

$\psi( \vec r_1, \vec r_2) \to T_{2}(\vec c) \psi ( \vec r_1, \vec r_2) = \psi( \vec r_1, \vec r_2 + \vec c) = \psi'( \vec r_1, \vec r_2)$

Las energías de ambos son equivalentes como se esperaba:

⟨ ψ | H^{'} | ψ ⟩ = ⟨ ψ^{'} | H | ψ^{'} ⟩

$\langle \psi| H'| \psi \rangle = \langle \psi' | H| \psi' \rangle$

Pregunta

¿Es correcto mi análisis inicial? Así como tengo un principio de incertidumbre para la aproximación "repentina" (diabática) para:

H \to H^{'}

$H \to H'$

¿Puedo derivar un principio de incertidumbre para la traducción de la función de onda súbita equivalente?

ψ ({\vec{r}}_{1}, {\vec{r}}_{2}) \to ψ^{'} ({\vec{r}}_{1}, {\vec{r}}_{2})

$\psi( \vec r_1, \vec r_2) \to \psi'( \vec r_1, \vec r_2)$

Respuestas (1)

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por simetría · Answer 1

Tu análisis me parece esencialmente correcto. Para reformular la condición de validez de la aproximación súbita, tenga en cuenta que su resultado se puede escribir

H^{'} = T_{2}^{†} (C) H T_{2} (C) .

$H' = T_2^\dagger(c)\, H\, T_2(c)\;.$

La condición para la validez de la aproximación repentina dada en la página wiki que vinculó es que

ζ ≪ 1

$\zeta \ll 1$ dónde

\begin{aligned} ζ & = \frac{τ^{2}}{ℏ^{2}} (⟨ {\bar{H}}^{2} ⟩_{0} - ⟨ \bar{H} ⟩_{0}^{2}) \\ \bar{H} & = \frac{1}{τ} \int_{0}^{τ} d t H (t) \end{aligned}

$\begin{align} \zeta &= \frac{\tau^2}{\hbar^2}\left(\langle \bar{H}^2 \rangle_0 - \langle \bar{H} \rangle_0^2 \right)\\ \bar{H} &= \frac{1}{\tau} \int_0^\tau dt\; H(t) \end{align}$ y

⟨ \cdot ⟩_{0}

$\langle \cdot \rangle_0$ denota la expectativa con respecto al estado en

t = 0

$t=0$ y

τ

$\tau$ es el tiempo que tarda en ocurrir el proceso repentino.

Supondremos ahora que podemos escribir

H (t) = {tu}^{†} (t) H tu (t)

$H(t) = U^{\dagger}(t) H U(t)$ para todos

0 \leq t \leq τ

$0 \le t \le \tau$ , con

U (0) = 1

$U(0) = 1$ ,

U (τ) = T_{2} (c)

$U(\tau) = T_2(c)$ y

U (t)

$U(t)$ un operador unitario para todos

t

$t$ . Por ejemplo, podríamos tener

tu (t) = T_{2} (C \frac{t}{τ})

$U(t) = T_2\left(c \frac{t}{\tau}\right)$ en la región relevante, pero la forma exacta dependerá de los detalles del proceso que está intentando aproximar.

Ahora podemos definir

\begin{aligned} | ψ (t) ⟩ & = tu (t) | ψ (0) ⟩ \\ ⟨ A ⟩_{t} & = ⟨ ψ (t) | A | ψ (t) ⟩ \end{aligned}

$\begin{align} |\psi(t)\rangle &= U(t)|\psi(0)\rangle\\ \langle A \rangle_t &= \langle \psi(t)| A | \psi(t) \rangle \end{align}$ Poniendo todo esto junto encontramos

ζ = \frac{1}{ℏ} \int_{0}^{τ} d t (⟨ H^{2} ⟩_{t} - ⟨ H ⟩_{t}^{2})

$\zeta = \frac{1}{\hbar}\int_0^\tau\;d t \left(\langle H^2 \rangle_t - \langle H \rangle_t^2\right)$

Umm... En mi cabeza sé que el principio de incertidumbre de la energía del tiempo debería ser el mismo. Es $\langle \bar H^2 \rangle_0 = \langle \bar H'^2 \rangle_0$ ?
Es posible que haya entendido mal lo que quiso decir con un principio de incertidumbre en este contexto (la incertidumbre de la energía del tiempo es difícil de definir). Iba por lo que estaba en el enlace de Wikipedia. $\bar{H}$ es el hamiltoniano "promedio" durante el proceso rápido, por lo que está en algún lugar entre $H$ y $H'$ . Esto significa que la noción de $\bar{H}'$ realmente no tiene sentido
Creo que mi primera pregunta fue mal planteada. Permítanme reformular: tengo $2$ formas equivalentes de definir $H'$ : $H' = H - V(\vec r_1 - \vec r_2) + V(\vec r_1 - \vec r_2 - \vec c)$ el otro como usted dice: $H' = T_2^\dagger(\vec c) H T_2(\vec c)$ . ¿Ambos hamiltonianos producen el mismo principio de incertidumbre? no veo problema en $\langle \bar H \rangle_t$ pero estoy preocupado en $\langle \bar H^2 \rangle_t$
El requisito clave aquí es que el operador al que he llamado $U$ es invertible (y realmente debería ser unitario, de lo contrario, tendrá problemas con la normalización de los estados). En este caso $H^2(t) = U^{-1}(t) H U(t)U^{-1}(t)H U(t) = U^{-1}(t) H^2 U(t)$ lo que implica que $\langle H^2(t) \rangle_0 = \langle H^2 \rangle_t$ . El unitario de $T_2(c)$ es realmente el contenido matemático de su "filosofía de la relatividad general" sobre el universo sin importar dónde coloque el cambio.
En realidad, mirándolo de nuevo, no es suficiente para $U$ ser invertible. $U$ debe ser completamente unitario.
Esperaré a que modifiques tu respuesta ;) ... Estoy bastante confundido con esto

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