¿La igualdad de operadores en el vacío implica la igualdad de operadores en todo el espacio?

Question

¿La igualdad de operadores en el vacío implica la igualdad de operadores en todo el espacio?

glS

Considere un operador de campo $\Phi(x)$ que genera estados a partir del vacío tales como

\begin{matrix} (1) & | X ⟩ = Φ (X) | 0 ⟩ . \end{matrix}

$\tag 1 | x \rangle = \Phi(x) | 0 \rangle.$ Considere también cómo se implementa una traducción en tal estado:

\begin{matrix} (2) & | X + y ⟩ = {mi}^{i y PAG} | X ⟩, \end{matrix}

$\tag 2 | x + y \rangle = e^{iyP} | x \rangle,$ dónde

P^{μ}

$P^\mu$ son los generadores de las traducciones. Ahora considere la siguiente cadena de identidades, en la que solo se usan (1) y (2) :

\begin{matrix} (3) & Φ (X + y) | 0 ⟩ = | X + y ⟩ = {mi}^{i y PAG} | X ⟩ = {mi}^{i y PAG} Φ (X) | 0 ⟩ . \end{matrix}

$\tag 3 \Phi(x+y) | 0 \rangle = | x + y \rangle = e^{iyP} | x \rangle = e^{iyP} \Phi(x) | 0 \rangle.$

A partir de esto, estaría tentado a concluir que la regla de transformación para $\Phi(x)$ es

\begin{matrix} (4) & Φ (X + y) = {mi}^{i y PAG} Φ (X), \end{matrix}

$\tag 4 \Phi(x+y) = e^{iyP} \Phi(x),$ mientras que sabemos que la regla de transformación correcta es

\begin{matrix} (5) & Φ (X + y) = {mi}^{i y PAG} Φ (X) {mi}^{- i y PAG} . \end{matrix}

$\tag 5 \Phi(x+y) = e^{iyP} \Phi(x) e^{-iyP}.$ ¿Qué tiene de malo el razonamiento anterior?

una mente curiosa

Pista: Demanda

Φ (x) | ψ ⟩ \mapsto e^{i y P} (Φ (x) | ψ ⟩)

$\Phi(x)\lvert \psi \rangle \mapsto \mathrm{e}^{\mathrm{i}yP}(\Phi(x)\lvert \psi \rangle)$ para un estado que no es el vacío, y usar ese

| ψ ⟩ \mapsto e^{i y P} | ψ ⟩

$\lvert \psi \rangle \mapsto \mathrm{e}^{\mathrm{i}yP}\lvert \psi \rangle$ . No ve la transformación correcta en su argumento porque el vacío es traducción invariante por definición.

glS

@ACuriousMind gracias por el comentario. Sospechaba algo así. La respuesta a mi pregunta es entonces: no es cierto que (3) implique (4) porque matemáticamente el

| 0 ⟩

$|0\rangle$ s en el LHS y el de la RHS no son lo mismo? Sin embargo, los identificamos como representantes del mismo estado físico. ¿Es entonces el caso de que lo que solemos llamar "el estado de vacío

| 0 ⟩

$|0\rangle$ ¿Es de hecho algo así como una clase de equivalencia de estados?

una mente curiosa

(3)

$(3)$ No implica

(4)

$(4)$ porque la igualdad de operadores en el vacío no implica la igualdad de operadores en todo el espacio.

(3)

$(3)$ es consistente con ambos

(4)

$(4)$ y

(5)

$(5)$ porque, como dije, el vacío es invariante a la traducción.

Respuestas (1)

¿La igualdad de operadores en el vacío implica la igualdad de operadores en todo el espacio?

Pista: Demanda $\Phi(x)\lvert \psi \rangle \mapsto \mathrm{e}^{\mathrm{i}yP}(\Phi(x)\lvert \psi \rangle)$ para un estado que no es el vacío, y usar ese $\lvert \psi \rangle \mapsto \mathrm{e}^{\mathrm{i}yP}\lvert \psi \rangle$ . No ve la transformación correcta en su argumento porque el vacío es traducción invariante por definición.
@ACuriousMind gracias por el comentario. Sospechaba algo así. La respuesta a mi pregunta es entonces: no es cierto que (3) implique (4) porque matemáticamente el $|0\rangle$ s en el LHS y el de la RHS no son lo mismo? Sin embargo, los identificamos como representantes del mismo estado físico. ¿Es entonces el caso de que lo que solemos llamar "el estado de vacío $|0\rangle$ ¿Es de hecho algo así como una clase de equivalencia de estados?
$(3)$ No implica $(4)$ porque la igualdad de operadores en el vacío no implica la igualdad de operadores en todo el espacio. $(3)$ es consistente con ambos $(4)$ y $(5)$ porque, como dije, el vacío es invariante a la traducción.

una mente curiosa · Answer 1

$\newcommand{\ket}[1]{\lvert #1 \rangle} \newcommand{\iex}[1]{\mathrm{e}^{\mathrm{i}#1}} \newcommand{\miex}[1]{\mathrm{e}^{-\mathrm{i}#1}}$ Su $(3)$ No implica $(4)$ , ya que la igualdad de operadores en un estado - el vacío en este caso - no implica la igualdad de los operadores en todo el espacio.

Para obtener la transformación correcta, considere un estado arbitrario $\ket{\psi}$ transformándose bajo una traducción por $y$ como $\ket{\psi} \mapsto \iex{yP}\ket{\psi}$ . Desde $\Phi(x)\ket{\psi}$ es también un estado, debemos tener $\Phi(x)\ket{\psi} \mapsto \iex{yP}(\Phi(x)\ket{\psi})$ . Pero también sabemos que la transformación actúa sobre las partes individuales como

Φ (X) | ψ ⟩ \mapsto Φ (X + y) {mi}^{i y PAG} | ψ ⟩

$\Phi(x)\ket{\psi} \mapsto \Phi(x+y)\iex{yP}\ket{\psi}$

y dado que el operador de cantidad de movimiento y el campo no necesariamente conmutan, vemos que, ciertamente, $\Phi(x+y) = \iex{yP}\Phi(x)\miex{yP}$ es una prescripción que produce la regla de transformación deseada para todos los estados $\ket{\psi}$ .

Nota: Esta no es una prescripción incorrecta en el caso del vacío, ya que el vacío es invariante tras la traducción, por lo que $(4)$ y $(5)$ tienen el mismo efecto en ese caso.

¿La igualdad de operadores en el vacío implica la igualdad de operadores en todo el espacio?

glS

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Respuestas (1)

una mente curiosa

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