Representaciones del grupo de Lorentz sobre espacios de Hilbert

Para la pregunta 1, pregunta por qué un operador$A$se transforma bajo una transformación unitaria$U$como$A' = U A U^\dagger$? En caso afirmativo, la respuesta es simplemente que los 2 estados$|a>$y$|b>$siendo transformado en$|a'> = U |a>$y$|b'>= U |b>$, quieres

$$<a|A|b> = <a'|A'|b'>$$

Desde$<a'|A'|b'> = <a | U^\dagger A' U |b>$, la igualdad anterior es cierta para cualquier estado$|a>$y$|b>$, deduces:$A = U^\dagger A' U$. El unitario de$U$te dice que$U^{-1} = U^\dagger$y por lo tanto$A' = U A U^\dagger$.

Respuesta a la primera pregunta.

La respuesta a su primera pregunta se puede dar apelando a la noción de simetría en la mecánica cuántica. No creo que sea realmente necesaria ninguna discusión sobre las diferentes imágenes de la evolución del tiempo.

Deja una transformación$T$ser una simetría cuántica, entonces dada una probabilidad de transición construida a partir de estados y operadores, si reemplazamos estados$\psi$que aparecen en esta probabilidad con$T\psi$, y si reemplazamos operadores$O$que aparecen con$TOT^{-1}$, entonces la probabilidad de transición no cambiará.

Este hecho hace que definir la transformación del operador como$O\mapsto TOT^{-1}$un concepto útil. Veamos por qué el hecho anterior es cierto.

Sea un sistema cuántico con espacio de Hilbert$\mathcal H$ser dado. La probabilidad de transición del estado$\phi\in\mathcal H$a estado$\psi\in\mathcal H$Se define como

$$\begin{align} P(\psi,\phi) = \left|\frac{(\psi,\phi)}{\|\psi\|\|\phi\|}\right|^2. \end{align}$$ Recuerde que los estados deben tener una norma distinta de cero, por lo que no tenemos que preocuparnos por dividir por cero en el lado derecho. Las probabilidades de transición son lo que calculamos en mecánica cuántica para hacer predicciones de probabilidades de resultados de mediciones.

Una simetría de este sistema es cualquier transformación invertible$T:\mathcal H \to\mathcal H$que preserva las probabilidades de transición. Explícitamente,$T$es una simetría siempre que sea una biyección y

$$\begin{align} P(T\psi, T\phi) = P(\psi,\phi) \end{align}$$ para todo distinto de cero $\psi,\phi\in\mathcal H$. Ahora, considere un estado distinto de cero $\phi$tal que $\phi = O\xi$para algunos $\xi\in\mathcal H$. La condición de simetría garantiza que $$\begin{align} P(T\psi, TO\xi) = P(\phi, O\xi) \end{align}$$ Desde $T$es invertible, podemos insertar $T^{-1}T = I$entre los $O$y el $\xi$sin cambiar el lado izquierdo, por lo que la condición garantiza que $$\begin{align} P(T\psi, TOT^{-1}T\xi) = P(\phi, O\xi). \end{align}$$ Se podría decir una observación similar si $O$eran una cadena $O_1O_2\cdots O_n$de operadores compuestos en su lugar. En ese caso, tendríamos $$\begin{align} P(T\psi, TO_1T^{-1}TO_2T^{-1}\cdots TO_nT^{-1}T\xi) = P(\phi, O_1O_2\cdots O_n\xi). \end{align}$$ Esta es una forma matemática de escribir el hecho que queríamos demostrar.

Respuesta a la segunda pregunta.

Nota. Debe intentar hacer una sola pregunta en una publicación de SE determinada.

las representaciones$r$y$r'$no son lo mismo. Como los has escrito,$r$es una representación del grupo de simetría$G$actuando$\mathcal H$, mientras$r'$es una representación de$G$actuando en el espacio objetivo$V$de la teoría El espacio objetivo es simplemente el espacio en el que viven los valores del campo clásico. Para un campo escalar real, tendríamos$V=\mathbb R$. Para un campo vectorial de Lorentz, tendríamos$V =\mathbb R^{3,1}$, etc.

El reemplazo$\hat p^\mu = i\partial^\mu$no es el método correcto para determinar$r$. Nótese, en particular, que$\hat p^\mu$es un operador en$\mathcal H$, pero$i\partial^\mu$es (para cada$\mu$) un operador en el conjunto de configuraciones de campo clásicas admisibles.