¿Cómo puedo derivar un conmutador entre la derivada de un campo escalar y el generador MMM de Lorentz?

Creo que estás trabajando con la segunda sección de Srednicki, así que intentaré acercarme a la notación de ese libro. (Por eso creo que tu expresión$U(\Lambda)= U(1+\delta\omega) = I+\frac{1}{2\hbar}\delta\omega_{\mu\nu}M^{\mu\nu}$debería haber sido$I+\frac{i}{2\hbar}\delta\omega_{\mu\nu}M^{\mu\nu}$)

Primero, tenga en cuenta que$U(\Lambda)^{-1}\phi(x)U(\Lambda)=\phi(\Lambda^{-1}x)$. Llevar$\Lambda^\mu_{\; \nu}=\delta^\mu_{\; \nu}+\delta\omega^\mu_{\; \nu}$y$U(\Lambda)=I+\frac{i}{2\hbar}\delta\omega_{\mu\nu}M^{\mu\nu}$. El lado izquierdo es sólo$\phi(x)+\frac{i}{2\hbar}\delta \omega_{\mu\nu}[\phi(x),M^{\mu\nu}]$hasta el orden lineal de$\delta\omega_{\mu\nu}$. El lado derecho es$\phi(x^\mu+\delta\omega^\mu_{\;\nu}x^\nu)=\phi(x)+\delta\omega^\mu_{\;\nu}x^\nu\partial_\mu\phi(x)=\phi(x)+\delta\omega_{\mu\nu}x^\nu\partial^\mu\phi(x)$. Compara los coeficientes$\delta\omega_{\mu\nu}$y usamos la antisimetría, tenemos$[\phi(x),M^{\mu\nu}]=\frac{\hbar}{i}(x^\mu\partial^\nu-x^\nu\partial^\mu)$.

Ahora$\partial^\rho(U(\Lambda)^{-1}\phi(x)U(\Lambda))=U(\Lambda)^{-1}\partial^\rho \phi(x)U(\Lambda)=\partial^\rho\phi(\Lambda^{-1}x)$que es equivalente a su primera ecuación.

De nuevo, usa$U(\Lambda)= I+\frac{i}{2\hbar}\delta\omega_{\mu\nu}M^{\mu\nu}$, la ecuación anterior es$[\partial^\rho\phi(x),M^{\mu\nu}]=\partial^\rho(\frac{\hbar}{i}(x^\mu\partial^\nu-x^\nu\partial^\mu)) \phi(x)$. Siguiendo su notación (y la de Srednicki),$L^{\mu\nu}=\frac{\hbar}{i}(x^\mu\partial^\nu-x^\nu\partial^\mu)$. Tenga en cuenta que$[\partial^\rho\phi(x),M^{\mu\nu}]=\partial^\rho L^{\mu\nu}\phi(x)=L^{\mu\nu}\partial^{\rho}\phi(x)+[\partial^\rho,L^{\mu\nu}]\phi(x)$; por lo tanto su ecuación$\big[\partial^\rho\phi(x), M^{\mu\nu}\big]= L^{\mu\nu}\partial^\rho\phi(x)+\big(S^{\mu\nu}_V\big)^\rho_{\;\tau}\partial^\tau\phi(x)$es equivalente a demostrar que$[\partial^\rho,L^{\mu\nu}]=\big(S^{\mu\nu}_V\big)^\rho_{\;\tau}\partial^\tau$.

Pero