¿Cómo mostrar que ψ¯γμψψ¯γμψ\bar\psi\gamma^\mu\psi de un espinor de Dirac ψψ\psi se transforma como un vector?

Esta es la parte 2 del ejercicio II.1.1 de QFT de Zee en pocas palabras ( aquí está la parte 1 ).

Esto es lo que tengo:

ψ ¯ γ λ ψ ↦ ψ ¯ ′ γ λ ψ ′ = ψ ′ † γ 0 † γ λ ψ ′ = ( S ( Λ ) ψ ) † γ 0 γ λ ( S ( Λ ) ψ ) = ψ † S ( Λ ) † γ 0 γ λ S ( Λ ) ψ (1) = ψ † mi i 4 ω m v σ m v † γ 0 γ λ mi − i 4 ω m v σ m v ψ = ψ † ( 1 + i 4 ω m v ( σ m v ) † + O ( ω m v 2 ) ) γ 0 γ λ ( 1 − i 4 ω m v σ m v + O ( ω m v 2 ) ) ψ = ψ † γ 0 ( γ λ + i 4 ω m v [ [ γ m , γ v ] , γ λ ] + O ( ω m v 2 ) ) ψ = ψ † γ 0 ( γ λ + 1 2 ω m v [ σ m v , γ λ ] + O ( ω m v 2 ) ) ψ

Dos preguntas:

  • ¿Cómo prueba exactamente la última línea que ψ ¯ γ λ ψ se transforma como un vector bajo las transformaciones de Lorentz? Ciertamente me parece una transformación vectorial, debido al conmutador entre los generadores de Lorentz y los "componentes vectoriales". γ m , pero ¿cómo puedo probar esto cuantitativamente?
  • Luego, una pregunta más general: ¿Cómo puedo deshacerme de la O ( ω m v 2 ) ? Sé que puede ignorarse ya que solo consideramos transformaciones infinitesimales, por lo que el comportamiento de la transformación se rige solo por términos de primer orden. Pero, ¿cuál es la forma matemáticamente rigurosa de deshacerse de ellos? ¿Acabo de escribir un ≃ firme y déjelos afuera en el lado derecho de la ≃ ? Eso no me parecería correcto, porque cuando se trata de expansiones, un ≃ no implica igualdad estricta, simplemente implica "igualdad hasta cierto orden".
Gracias por hacer estas preguntas, actualmente estoy leyendo este libro y posiblemente el pragmatismo de la física se aplique aquí re: arriba (¿no se aplican técnicas de tipo de corte en otras expansiones?), Pero la mejor de las suertes para obtener una respuesta.

Respuestas (1)

Se vuelve más fácil si usa el resultado de la parte 1. Entonces tampoco tiene que lidiar con el O ( ω 2 ) (ver mi respuesta a su otra pregunta).

En tu cálculo, transformaste ψ ¯ y ψ , pero no γ λ . Esto es correcto, como mostraré al final, pero tomaré otro punto de vista que es realmente útil aquí: γ λ es un objeto con un índice de Lorentz λ y dos índices fermiónicos, por lo que debería transformarse como

γ ′ λ = Λ λ v ( S γ v S − 1 )
(según las reglas generales cómo se transforman los tensores).

Porque ya sabemos por la parte 1 que ψ ¯ → ψ ¯ S − 1 , inmediatamente obtenemos

ψ ¯ γ λ ψ → Λ λ v ψ ¯ S − 1 S γ v S − 1 S ψ = Λ λ v ψ ¯ γ v ψ ,
este es el comportamiento de transformación esperado de un vector de Lorentz.

Lo que hiciste también es correcto, por supuesto, pero falta un ingrediente. Desde

Λ λ v ( S γ v S − 1 ) = γ λ ,
el γ las matrices en realidad no se transforman. Probar esto es la parte más complicada (aunque tampoco es demasiado difícil). No he leído el libro de Zee, pero supongo que lo prueba en alguna parte.

(Puede comenzar escribiendo ψ ¯ γ λ ψ → ψ ¯ S − 1 γ λ S ψ y luego use esta identidad para obtener el mismo resultado).

Gracias, pero ¿qué es exactamente un índice fermiónico y por qué las matrices gamma se transforman de esta manera (su primera ecuación)? Cualquier explicación o referencia de libro es apreciada.
Otra cosa: de acuerdo con las reglas generales, cómo se transforman los tensores : ¿no sabía que las matrices gamma son tensores? ¿Por qué deberían aplicarse las reglas de transformación tensorial a las gammas?
Para cada m , γ m es una matriz, por lo que gamma es en realidad un objeto ( γ m ) A B . los índices A y B son índices fermiónicos o índices espinores.
La definición de un tensor es que, bajo la transformación de Lorentz, cada índice de Lorentz se contrae con un Λ m v y cada índice de espinor se contrae con un S ( Λ ) A B . ψ = ψ A es un espinor contravariante y en la parte 1 del ejercicio esencialmente demuestras que ψ ¯ = ψ ¯ B es un espinor covariante. Una forma diferente de pensar en lo que escribí anteriormente es tal vez: La ecuación γ ′ λ = γ λ = Λ λ v ( S γ v S − 1 ) demuestra que γ es un tensor. Después de mostrar esto, podemos usarlo en el cálculo real, como hice yo.
Si esto es demasiado para ti en este momento, puedes hacer el ejercicio sin comprender esto en detalle (ver la última línea en mi respuesta), pero creo que es genial cómo funciona todo :)
Gracias por tu ayuda. A juzgar por sus comentarios, ¿tengo razón en que todo el γ Qué es un tensor con dos índices espinores (uno contravariante, uno covariante) y un índice "normal" contravariante? De hecho, es bastante bueno :) pero es algo demasiado nuevo para mí como para estar seguro de estas cosas.
Exactamente. [los comentarios necesitan 15 caracteres]
¿Es posible probar el hecho de que las gammas en realidad no se transforman a partir de sus índices? Si un índice (de espinor) se transforma en covariante y uno en contravariante, entonces las transformaciones se cancelan entre sí, ¿verdad? Pero luego permanece el índice del vector contravariante, por lo que, sin embargo, ¿deberían transformarse ...?
Las tres transformaciones se anulan entre sí: el índice del vector contravariante da el Λ , el índice de espinor contravariante el S y el índice de espinor covariante el S − 1 . Esta combinación simplemente se cancela.
Lo siento si esta es una pregunta de novato, pero no debería S y S − 1 , por definición de S − 1 , ¿se anulan entre sí?
Todavía está el γ en el centro: Λ λ v ( S γ v S − 1 ) = γ λ
¿Hay algún libro donde sepas la página/sección donde se demuestra esta ecuación? Peskin/Schröder, Weinberg, Zuber?
Peskin/Schroeder: Ecuación (3.30). Zee: Bajo la ecuación (14), parte 2. Weinberg: (5.4.8)
¿Cómo mostrar que ψ¯γμψψ¯γμψ\bar\psi\gamma^\mu\psi de un espinor de Dirac ψψ\psi se transforma como un vector?
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