¿Cómo mostrar que ψ¯ψψ¯ψ\bar\psi\psi de un espinor de Dirac ψψ\psi se transforma como un escalar?

Me gustaría mostrar que para un espinor de Dirac$\psi$, el producto escalar$\bar\psi\psi$se transforma como un escalar bajo una transformación de Lorentz$\Lambda$, dónde$\bar\psi = \psi^\dagger\gamma^0$. Este es el ejercicio II.1.1 a) de QFT de Zee en pocas palabras .

Esto es lo que he probado hasta ahora:

$\psi$se transforma como$\psi\mapsto\psi' = S(\Lambda)\psi = e^{-\frac i4\omega_{\mu\nu}\sigma^{\mu\nu}}\psi$, dónde$\sigma^{\mu\nu}=\frac i2[\gamma^\mu,\gamma^\nu]$son los generadores del álgebra de Lorentz Lie, y$\omega_{\mu\nu}$son los coeficientes de la transformación de Lorentz$\Lambda$.

Entonces tenemos la transformación

$$\begin{align} \bar\psi\psi \mapsto \bar\psi^{\,\prime}\psi^{\,\prime} & = {\psi^{\,\prime}}^\dagger{\gamma^0}^\dagger\psi^{\,\prime} = (S(\Lambda)\psi)^\dagger\gamma^0(S(\Lambda)\psi) \\ & = \psi^\dagger S(\Lambda)^\dagger\gamma^0 S(\Lambda)\psi\\ & = \tag{1}\psi^\dagger e^{\frac i4\omega_{\mu\nu}{\sigma^{\mu\nu}}^\dagger}\gamma^0e^{-\frac i4\omega_{\mu\nu}\sigma^{\mu\nu}}\psi \end{align}$$

En la última línea, tengo una situación similar a$e^ABe^{-A}$que normalmente se evalúa en una expansión (de primer orden) como$e^{\lambda A}Be^{-\lambda A} \simeq B+\lambda[A,B]+O(\lambda^2)$. Esto tendría sentido si el conmutador$[A,B]$desaparece, porque entonces (1) sería igual a$\psi^\dagger\gamma^0\psi=\bar\psi\psi$, que es lo que queremos demostrar.

Pero en este caso, esto no funciona, ya que en la primera exponencial tenemos un${\sigma^{\mu\nu}}^\dagger$. Así que traté de calcular esto primero:

$$\begin{align} {\sigma^{\mu\nu}}^\dagger & = -\frac i2(\gamma^\mu\gamma^\nu-\gamma^\nu\gamma^\mu)^\dagger\\ & = \frac i2({\gamma^\mu}^\dagger{\gamma^\nu}^\dagger-{\gamma^\nu}^\dagger{\gamma^\mu}^\dagger)\\ & = \frac i2(\gamma^0\gamma^\mu\gamma^0\gamma^0\gamma^\nu\gamma^0-\gamma^0\gamma^\nu\gamma^0\gamma^0\gamma^\mu\gamma^0)\\ \tag{2}& = \frac i2(\gamma^0\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^0-\gamma^0\gamma^\nu\gamma^\mu\gamma^0) \end{align}$$

¿Cómo proceder? ¿Cómo puedo usar (2) para transformar (1) en$\bar\psi\psi$?