Demostración explícita de la invariancia relativista de la ecuación de Weyl

Bueno, puedo mostrarte que las ecuaciones de Weyl son invariantes relativistas, al menos. Se basa en una identidad que no he encontrado en ningún libro QFT estándar, pero es fácil de mostrar.

En primer lugar, tome nuestras matrices gamma en la representación quiral.

$\gamma^\mu= \left(\begin{array}{cc} 0 & \sigma^\mu \\ \bar{\sigma}^\mu & 0 \end{array}\right)$.

Bajo transformaciones de Lorentz un espinor de Dirac

$\Psi(x)=\left(\begin{array}{c} \psi_L \\ \psi_R \end{array}\right)$

se transforma en$\Psi'(x')=S\Psi(x)$. Aquí$\psi_L$y$\psi_R$son espinores de Weyl zurdos y diestros, respectivamente. Podemos escribir$S$como

$S= \left(\begin{array}{cc} L & 0 \\ 0 & R \end{array}\right)$tal que

$\psi_L\rightarrow L\psi_L$y$\psi_R\rightarrow R\psi_R$.

tambien tenemos eso$S^{-1}\gamma^\mu S=\Lambda^\mu_{\text{ }\nu}\gamma^\nu$. Entonces podemos mostrar fácilmente que esto es cierto si y solo si se cumple lo siguiente

$L^{-1}\sigma^\mu R=\Lambda^\mu_{\text{ }\nu}\sigma^\nu$,$R^{-1}\bar{\sigma}^\mu L=\Lambda^\mu_{\text{ }\nu}\bar{\sigma}^\nu$.

Ahora podemos demostrar que las ecuaciones de Weyl son invariantes. Haré uno de ellos.

Tenemos$i\sigma^\mu\partial_\mu\psi_R=0$. La versión transformada de Lorentz es

$i\sigma^\mu\partial'_\mu\psi'_R=i\sigma^\mu (\Lambda^{-1})^\rho_{\text{ }\mu}\partial_\rho R\psi_R=iL(L^{-1}\sigma^\mu R)(\Lambda^{-1})^\rho_{\text{ }\mu}\partial_\rho \psi_R$que nos da, después de nuestra identidad,$iL\sigma^\nu \Lambda^\mu_{\text{ }\nu}(\Lambda^{-1})^\rho_{\text{ }\mu}\partial_\rho \psi_R$.

Entonces$\Lambda^\mu_{\text{ }\nu}(\Lambda^{-1})^\rho_{\text{ }\mu}=\delta^\rho_\nu$dándonos$L(i\sigma^\nu \partial_\nu \psi_R)=0$.

Las ecuaciones de Weyl se derivan de la ecuación de Dirac sin masa, que solo puede ocurrir ya que los espinores izquierdo y derecho están desacoplados entre sí. Entonces, agregar un término de masa a las ecuaciones de Weyl en primer lugar realmente no tiene sentido ya que, por definición, describen partículas de espín-1/2 sin masa .

Pero la prueba de hecho se desmorona con un término masivo. Si (de alguna manera) tuviéramos

$(i\sigma^\mu\partial_\mu-m)\psi_R=0$

la versión transformada de Lorentz de esto sería

$(iL\sigma^\mu\partial_\mu-mR)\psi_R$

que obviamente no es igual a la forma original.