¿La función propia para el operador de momento angular es única?

Quiero saber si la relación de conmutación para el momento angular,

$$\left[ J_\alpha,J_\beta\right] = i\hbar\epsilon_{\alpha\beta\gamma}J_\gamma$$ es suficiente para definir su estado propio único de espín,$\lvert s,m\rangle$.

Hasta donde yo sé, la relación es suficiente para definir el operador de escalera$J_\pm$.
En el caso del momento angular orbital L, oda$L_+\psi_t=0$y$L_-\psi_b=0$define un estado único, definiendo así de forma única toda la escalera$\lvert l,m\rangle$.

Sin embargo, en el caso del espín, el vector de estado se encuentra en el espacio abstracto, por lo que la ecuación$S_+\psi_t=0$y$S_-\psi_b=0$no puede garantizar la singularidad de$\psi_t$y$\psi_b$. Además, la relación$S_z(S_+\lvert s,m\rangle)=(m+\hbar)(S_+\lvert s,m\rangle)$muestra que$S_+\lvert s,m\rangle$es uno de estado propio para$S_z$con valor propio$m+\hbar$, pero esto puede no ser único.
¿No hay posibilidad de que$S^2$y$S_z$tiene alguna degeneracion? Si entonces, la escalera cuántica no puede cubrir toda la base para$S^2$y$S_z$.

Creo que ignorando estas posibilidades, y considerando este procedimiento como construcción única de$\lvert j,m_j\rangle$será suficiente, pero quiero una demostración estricta. ¿Tiene esto algo que ver con la naturaleza generadora del momento angular?

Editar) Teniendo en cuenta otro índice k, como la posición$\vecr$, dará un vector de estado$\psi\left( r \right) \lvert s,m\rangle$que generará vectores propios con el mismo valor propio y diferente componente espacial$\psi\left( r \right)$es dado.

Lo que me pregunto precisamente es:
la teoría estándar para el momento angular, a partir de la relación de conmutación, al final argumentará la existencia del estado propio$\lvert j,m_j\rangle$, satisfactorio

$$J^2\lvert j,m_j\rangle = j\left( j+1 \right)\hbar\lvert j,m_j\rangle\\J_z\lvert j,m_j\rangle = m_j\hbar\lvert j,m_j\rangle$$ Me pregunto si es posible encontrar$\lvert j,m_j\rangle'$sin introducir ningún otro índice.
En el caso del momento angular L, es posible resolver directamente la ecuación de valores propios para encontrar la solución única (armónicos esféricos), por lo que el problema que me pregunto ocurre en el caso del espín S, donde la relación algebraica es la única restricción.