¿Cuál es el cociente de dos operadores cuánticos?

Probablemente sea útil explicar el contexto, lo que me llevó a esta pregunta. Nos hicieron la siguiente pregunta:

por escrito L 2 = ∑ i j k yo metro ϵ i j k X j pag k ϵ i yo metro X yo pag metro muestra esa:

pag 2 = L 2 r 2 + 1 r 2 { ( r ⋅ pag ) 2 − i ℏ ( r ⋅ pag ) }

Llegué a este punto:

L 2 = r 2 pag 2 − ( r ⋅ pag ) 2 + i ℏ r ⋅ pag

Sin embargo, ahora mi pregunta es, ¿puedo simplemente dividir por r 2 y si es así, ¿cuál es la interpretación de una división de dos operadores cuánticos? Después de todo L , r , pag son todos operadores cuánticos, por lo que estoy bastante preocupado por aplicar las reglas de álgebra "normales" y dar por terminado el día.

Deberías poder demostrar que L 2 viaja con r 2 --es una función de solo θ y φ, así que no importa si multiplicas por el inverso a la izquierda o a la derecha. En lo que respecta a estos dos operadores, son "números entre sí".
@Cosmas conmuta con la L al cuadrado, pero conmuta con pag 2 ? ¿Qué pasa con los otros dos términos? La presencia de un término imaginario es un indicador irrefutable de que algunos términos no se conmutan, por lo que cualquier cambio de orden debe realizarse con mucho cuidado.
@Emilio Sospecho firmemente que el objetivo del ejercicio es ayudar al OP a apreciar [ L 2 , r ] = 0 a pesar de que falla la conmutatividad de las piezas individuales... el tipo de cosas que suceden con las piezas del hamiltoniano también... r 2 puede dividir el todo L 2 a la izquierda o a la derecha. Pero cualquier expectativa de que podría/debería dividir piezas individuales está fuera de lugar.
@CosmasZachos Pero es multiplicar las piezas individuales ─ en concreto, la pag 2 del LHS del resultado final, que no conmuta con r 2 si no estropeé mis conmutadores traseros.
@Emilio Bueno, L 2 / r 2 = r 2 pag 2 1 / r 2 + { . . . } 1 / r 2 también es correcto, pero atrozmente tonto... El único término con el que no necesitas ser consciente del orden es el lhside, por supuesto...
@EmilioPisanty No necesitas hacer ningún cálculo para ver eso pag 2 y r 2 no viaje Si lo hicieran, entonces el oscilador armónico 3D sería efectivamente clásico; su estado fundamental minimizaría individualmente los términos cinético y potencial, y no habría energía de punto cero. Pero dado que el 3D HO es solo la suma de tres 1D HO desacoplados, claramente este no es el caso.
@tparker Creo que tanto tú como Cosmas están perdiendo el punto. Me refería exclusivamente a la afirmación de que los operadores involucrados son solo "números entre sí"; esto podría ser cierto para algunas combinaciones, pero no para todas las relevantes aquí. No veo qué más discusiones sobre minucias en este hilo lograrán más allá de confundir a 1MegaMan1.
@EmilioPisanty En realidad no leí nada del hilo. Me acabo de dar cuenta de que mencionaste el cálculo de "conmutadores en la parte posterior del sobre" para verificar si X 2 y pag 2 viajan, y pensé en compartir un buen truco rápido para ver que no lo hacen.

Respuestas (1)

Sí, es un tema sutil. No puede simplemente dividir dos operadores que no conmutan: debe especificar si está multiplicando por la izquierda o por la derecha el numerador por el recíproco del denominador. Evitaría usar la notación de "división" y solo multiplicaría los operadores y sus recíprocos, para mayor claridad. Puede multiplicar a la izquierda la expresión de su operador por ( r 2 ) − 1 para obtener una cuantización particular del resultado final que se supone que debes mostrar.

En rigor, en d dimensiones espaciales el dominio del operador r − 2 es el subconjunto del espacio de Hilbert L 2 ( R d ) cual r − 2 lleva a L 2 ( R d ) , es decir, el conjunto de funciones integrables al cuadrado ψ ( r ) tal que

⟨ ψ | ( r − 2 ) † r − 2 | ψ ⟩ = ∫ d d X   | ψ ( r ) | 2 r 4 = ∫ d Ω ∫ r d − 1 d r | ψ ( r , Ω ) | 2 r 4
es finito Este es el conjunto de funciones ψ ( r ) que van a cero en el origen al menos tan rápido como r pag por algo de poder pag > 4 − d . En tres dimensiones espaciales, esto significa que ψ ( r ) debe llegar a cero más rápido que r cerca del origen.

¿El origen de qué? El dominio de esa función es (un subespacio de) el espacio de Hilbert.
@EmilioPisanty El operador se define para funciones de onda que desaparecen lo suficientemente rápido cerca del origen. Editado para aclarar.
Estás diciendo que para mantener todo claro y sin confusión debería evitar escribir A r 2 ya que esto es ambiguo y podría significar ( r 2 ) − 1 A o A ( r 2 ) − 1 , que no necesariamente tiene que ser el mismo. Sin embargo, hay una cosa más sobre la que estoy un poco confundido, ¿por qué es cierto que en la representación de posición el inverso de r 2 , ( r 2 ) − 1 , es simple 1 r 2 ? ¿Cuál sería entonces, por ejemplo, el inverso de pag 2 , ( pag 2 ) − 1 , en representación de posición?
Esta es una excelente respuesta, por supuesto. Sin embargo, sería un poco 'más suave' en la notación: no encuentro 1 r 2 problemático (¡con un numerador de unidades!), ni tengo un problema con A B cuando es obvio que [ A , B ] = 0 . Por otro lado, algo tan complicado como A = ( r ⋅ pag ) 2 − i ℏ ( r ⋅ pag ) nunca debería estar realmente en un numerador, a menos que se haya hecho explícitamente y con bastante claridad que conmuta con el numerador.
@ 1MegaMan1 Sí, puede ser un poco confuso distinguir entre el inverso multiplicativo (recíproco) y el inverso funcional (por ejemplo, matriz). Es más fácil en la base propia del operador, cuando las dos nociones son más o menos iguales (simplemente intercambias cada valor propio). Por eso el operador inverso de r 2 es solo 1 / r 2 en la base de la posición. Invirtiendo pag 2 en la base de posición es más complicado; en realidad no tiene un inverso de dos lados adecuado, pero tiene un inverso a la derecha 1 / ( 4 π ℏ 2 r ) llamada "función de Green" para el operador laplaciano.
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