¿Por qué sl(2,C)sl(2,C)sl(2,\mathbb{C}) los operadores ascendentes y descendentes J±J±J_{\pm} garantizan valores propios cuantificados?

Question

¿Por qué sl(2,C)sl(2,C)sl(2,\mathbb{C}) los operadores ascendentes y descendentes J±J±J_{\pm} garantizan valores propios cuantificados?

Fantasma101

He estado estudiando mecánica cuántica, específicamente el momento angular, pero tengo una pregunta que se refiere a los operadores de subida y bajada en su conjunto. Para el momento angular total, puede definir:

j_{\pm} = j_{X} \pm i j_{y}

$J_\pm=J_x\pm iJ_y$ Cualquiera que esté familiarizado con el momento angular reconocerá estos como los operadores de subida y bajada, pero continuaré con el problema para explicar mejor mi pregunta.

Un análisis de este problema muestra que:

[j_{z}, j_{\pm}] = \pm ℏ j_{\pm}

$[J_z, J_\pm]=\pm \hbar J_\pm$

[j^{2}, j_{\pm}] = 0

$[J^2, J_\pm]=0$ A partir de aquí es fácil ver que si

J_{z} | α β ⟩ = β | α β ⟩,

$J_z|\alpha\beta\rangle= \beta|\alpha\beta\rangle,$ y

J^{2} | α β ⟩ = α | α β ⟩

$J^2|\alpha\beta\rangle= \alpha|\alpha\beta\rangle$ ,

j_{z} (j_{+} | α β ⟩) = (j_{+} j_{z} + ℏ j_{+}) | α β ⟩ = (j_{+} β + ℏ j_{+}) | α β ⟩ = (β + ℏ) j_{+} | α β ⟩

$J_z(J_+|\alpha\beta\rangle)=(J_+J_z+\hbar J_+)|\alpha\beta\rangle= (J_+\beta+\hbar J_+)|\alpha\beta\rangle=(\beta +\hbar)J_+|\alpha\beta\rangle$ Y así podemos decir

J_{+} | α β ⟩ = C | α, β + ℏ ⟩

$J_+|\alpha\beta\rangle=C|\alpha,\beta + \hbar\rangle$ .

Sin embargo, aunque este enfoque es muy claro, en mi opinión no muestra exactamente que los valores propios de $J_z$ existen sólo en incrementos de $\hbar$ . Por ejemplo, si pudiera encontrar un conjunto arbitrario de operadores $W_\pm$ , tal que $[J_z, W_\pm]=\pm (\hbar /4)W_\pm$ , entonces podría mostrar fácilmente por la lógica anterior que los valores propios de $J_z$ existen en incrementos de $\hbar /4$ . Entonces, ¿qué garantías de que no pueda encontrar tales operadores? Más específicamente, ¿qué parte del método del "operador de subida y bajada" garantiza que no hay más valores propios posibles de $J_z$ (o cualquier operador), que los encontrados usando operadores de subida y bajada?

Respuestas (2)

¿Por qué sl(2,C)sl(2,C)sl(2,\mathbb{C}) los operadores ascendentes y descendentes J±J±J_{\pm} garantizan valores propios cuantificados?

una mente curiosa · Answer 1

La respuesta formal está en la teoría de la representación, en este caso, la teoría de la representación del álgebra de Lie. $\mathfrak{su}(2)$ , que es atravesado por los tres operadores $J_z,J_+,J_-$ . Que ya no hay valores propios de $J_z$ que los encontrados por el método del operador de escalera se deduce de dos hechos:

Cada representación de $\mathfrak{su}(2)$ es completamente descomponible, es decir, la suma directa de representaciones irreductibles.
Las representaciones irreductibles de $\mathfrak{su}(2)$ son precisamente las "representaciones de espín" de la física, etiquetadas por el valor propio medio entero más grande ("peso más alto") $s$ de $J_z$ , que tienen dimensión $2s+1$ , que consta de los estados con valores propios $-s,-s+1,\dots,s-1,s$ .

$s$ tiene que ser medio entero porque uno puede mostrar directamente que si $s$ es el peso más alto, entonces el valor propio más bajo es $-s$ , y si la diferencia entre el peso más alto y el más bajo no fuera un número entero, podríamos alcanzar un peso aún más bajo aplicando el operador de reducción al estado de peso más alto.

ZeroTheHero · Answer 2

No existe una combinación de operador de momento angular que satisfaga una condición como $[J_z,W_{\pm}]=\pm (\hbar /4)W_\pm$ . Los únicos operadores de escalera posibles construidos con $J_x$ y $J_y$ son $J_\pm$ , y sus relaciones de conmutación son $[J_z,J_{\pm}]=\pm \hbar J_\pm$ , lo que implica que vecinos $m$ los valores difieren por $1$ . (Ya que solo tenemos $J_x,J_y$ y $J_z$ para jugar, no es difícil demostrar que $[J_z,J_{\pm}]=\pm \hbar J_\pm$ : solo comienza con un genérico $J_+=a L_x+bL_y$ y encontrarás que $b=\pm i a$ . El valor real de $a$ es irrelevante para calcular el cambio en $m$ .)
Es posible que un operador $\hat A$ satisfacer (por ejemplo) $[J_z,\hat A]=2 \hbar \hat A$ . Un ejemplo es cualquier operador proporcional a $(x+iy)^2$ . La acción de este operador cambia $m$ por $+2\hbar$ pero $\hat A$ NO es un operador de momento angular.
Los operadores de cantidad de movimiento angular tienen una estructura algebraica de Lie, y de la teoría de representación de las álgebras de Lie sabemos que el conjunto $\{\vert jm\rangle\}$ debe contener $2j+1$ elementos y debe contener $m=j$ y $m=-j$ . Por lo tanto, la escalera por operadores de escalera de momento angular solo puede cambiar $m$ por una unidad de $\hbar$ .

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Fantasma101

Respuestas (2)

una mente curiosa

ZeroTheHero

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