¿Cómo puede el valor medio de una cantidad bebebe un operador?

Question

¿Cómo puede el valor medio de una cantidad bebebe un operador?

Ruslán

En Laundau & Lifshitz Mecánica Cuántica. Teoría no relativista en $\S29$ se da un problema:

PROBLEMA Promediar el tensor $n_in_k-\frac13\delta_{ik}$ (dónde $\mathbf{n}$ es un vector unitario a lo largo del radio vector de una partícula) sobre un estado donde la magnitud pero no la dirección del vector $\mathbf{l}$ se da (es decir $l_z$ es indeterminado).

La solución entonces comienza con esto (las cursivas son mías):

$\def\sc#1{\dosc#1\csod} \def\dosc#1#2\csod{{\rm #1{\small #2}}} \sc{SOLUTION.}$ El valor medio requerido es un operador que se puede expresar en términos del operador $\mathbf{\hat l}$ solo. Lo buscamos en la forma

$\bar{{norte}_{i} {norte}_{k}} - \frac{1}{3} d_{i k} = a [{\hat{yo}}_{i} {\hat{yo}}_{k} + {\hat{yo}}_{k} {\hat{yo}}_{i} - \frac{2}{3} d_{i k} yo (yo + 1)];$ $\overline{n_in_k}-\frac13\delta_{ik}=a[\hat l_i\hat l_k+\hat l_k\hat l_i-\frac23\delta_{ik}l(l+1)];$

este es el tensor simétrico más general de rango dos con traza cero que se puede formar a partir de los componentes de $\mathbf{\hat l}$ . ...

Lo que me confunde es la parte en cursiva: "el valor medio es un operador". Según tengo entendido, valor medio en un estado dado $|\psi\rangle$ de una cantidad $\kappa$ es dado por

\bar{k} = ⟨ ψ | \hat{k} | ψ ⟩ .

$\overline\kappa=\langle\psi|\hat\kappa|\psi\rangle.$

Aquí $\overline\kappa$ no es un operador, pero $\hat\kappa$ es. ¿L&L trata de abreviar alguna frase más clara con su declaración? O entiendo algo mal?

alto

Tal vez quieren decir que este es un operador equivalente que actúa en el espacio de fijo "

ℓ

$\ell$ ", atravesado por estados de diferentes "m", desde

- ℓ

$-\ell$ a

ℓ

$\ell$ ?

Sofía

@Ruslan: busqué en el libro de Landau y Lifschitz. Te explican cómo resolver el ejercicio. Recién noto que al final dan una fórmula en la que aparece

\hat{{\vec{ℓ}}^{2}} = l (l + 1)

$\hat {{\vec {\ell}}^2} = l(l+1)$ . Por supuesto, un operador no es igual a su valor propio. Pero lo que hacen, dado que te dijeron que el estado

| ψ ⟩

$|\psi\rangle$ es un valor propio de

\hat{{\vec{ℓ}}^{2}}

$\hat {{\vec {\ell}}^2}$ , y dado que obtuvieron que

\hat{k}

$\hat k$ en términos de

\hat{{\vec{ℓ}}^{2}}

$\hat {{\vec {\ell}}^2}$ , de hecho lo hacen

⟨ ψ | \hat{k} | ψ ⟩

$\langle \psi|\hat k|\psi \rangle$ , dónde

\hat{k} | ψ ⟩

$\hat k |\psi\rangle$ se reemplaza por el valor propio de

\hat{k}

$\hat k$ veces

| ψ ⟩

$|\psi\rangle$ .

Respuestas (2)

¿Cómo puede el valor medio de una cantidad bebebe un operador?

Tal vez quieren decir que este es un operador equivalente que actúa en el espacio de fijo " $\ell$ ", atravesado por estados de diferentes "m", desde $-\ell$ a $\ell$ ?
@Ruslan: busqué en el libro de Landau y Lifschitz. Te explican cómo resolver el ejercicio. Recién noto que al final dan una fórmula en la que aparece $\hat {{\vec {\ell}}^2} = l(l+1)$ . Por supuesto, un operador no es igual a su valor propio. Pero lo que hacen, dado que te dijeron que el estado $|\psi\rangle$ es un valor propio de $\hat {{\vec {\ell}}^2}$ , y dado que obtuvieron que $\hat k$ en términos de $\hat {{\vec {\ell}}^2}$ , de hecho lo hacen $\langle \psi|\hat k|\psi \rangle$ , dónde $\hat k |\psi\rangle$ se reemplaza por el valor propio de $\hat k$ veces $|\psi\rangle$ .

qmecanico · Answer 1

Dejar

\begin{matrix} (1) & {\hat{T}}_{i k} := {\hat{norte}}_{i} {\hat{norte}}_{k} - \frac{1}{3} d_{i k} \hat{1} . \end{matrix}

$\tag{1} \hat{T}_{ik}~:=~\hat{n}_i \hat{n}_k-\frac{1}{3}\delta_{ik}\hat{\bf 1}.$

La redacción del problema en la Ref. 1 de hecho no es la más clara, pero al compararla con la solución dada, parece que la Ref. 1 está realizando un promedio parcial sobre el espacio de estados de Hilbert con un valor fijo del número cuántico del momento angular orbital $\ell$ y manteniendo el número cuántico magnético $m$ como un indeterminado solitario. En la práctica, esto significa promediar sobre una dirección radial.

En otras palabras, ref. 1 está considerando un irreducible $(2\ell+1)$ -representación dimensional $R$ del álgebra de operadores [y del grupo de Lie $SO(3)$ ], con un espacio vectorial $V$ , atravesado por vectores $|\ell m \rangle$ , $m\in\{-\ell,\ldots,\ell\}$ . Denotando el procedimiento de promedio con una línea superior, tenemos

\begin{matrix} (2) & \bar{{\hat{T}}_{i k}} = R ({\hat{T}}_{i k}), {\hat{ℓ}}_{i} := R ({\hat{L}}_{i}) . \end{matrix}

$\tag{2} \overline{\hat{T}_{ik}}~=~R(\hat{T}_{ik}), \qquad \hat{\ell}_i~:=~R(\hat{L}_i).$

Nos gustaría calcular los elementos de la matriz.

\begin{matrix} (3) & ⟨ ℓ metro | \bar{{\hat{T}}_{i k}} | ℓ {metro}^{'} ⟩ = ⟨ ℓ metro | R ({\hat{T}}_{i k}) | ℓ {metro}^{'} ⟩ = F_{i k} (ℓ, metro, {metro}^{'}), \end{matrix}

$\tag{3}\langle \ell m | \overline{\hat{T}_{ik}}|\ell m^{\prime} \rangle ~=~\langle \ell m |R(\hat{T}_{ik})|\ell m^{\prime} \rangle ~=~f_{ik}(\ell,m,m^{\prime}),$

cuales son algunas funciones de $i,k,\ell,m,m^{\prime}$ . En lugar de considerar elementos de matriz, podemos considerar el operador/matriz $R(\hat{T}_{ik})\in{\rm End}(V)$ . Es natural suponer que

\begin{matrix} (4) & R ({\hat{T}}_{i k}) = \sum_{metro, {metro}^{'}} | ℓ metro ⟩ ⟨ ℓ metro | R ({\hat{T}}_{i k}) | ℓ {metro}^{'} ⟩ ⟨ ℓ {metro}^{'} | = {\hat{F}}_{i k} ({\hat{ℓ}}_{1}, {\hat{ℓ}}_{2}, {\hat{ℓ}}_{3}; ℓ) . \end{matrix}

$\tag{4}R(\hat{T}_{ik})~=~\sum_{m,m^{\prime}}|\ell m \rangle\langle \ell m |R(\hat{T}_{ik})|\ell m^{\prime} \rangle\langle \ell m^{\prime} | ~=~\hat{f}_{ik}(\hat{\ell}_1,\hat{\ell}_2,\hat{\ell}_3;\ell).$

De la estructura tensorial se sigue que $R(\hat{T}_{ik})$ debe ser de la forma

\begin{matrix} (5) & R ({\hat{T}}_{i k}) \propto {{\hat{ℓ}}_{i}, {\hat{ℓ}}_{k}}_{+} - \frac{2}{3} d_{i k} ℓ (ℓ + 1) \hat{1} . \end{matrix}

$\tag{5}R(\hat{T}_{ik})~\propto~\{\hat{\ell}_i,\hat{\ell}_k\}_{+}-\frac{2}{3}\delta_{ik}\ell(\ell+1)\hat{\bf 1}.$

Ver ref. 1 para más detalles.

Referencias:

LD Landau y EM Lifshitz, QM, vol. 3, 3ª ed., 1981; $\S29$ .

Hmm, no entiendo muy bien, sobre lo que estamos promediando. Tal como está ahora, parece $l$ sigue siendo un parámetro de $\overline{\hat T_{ik}}$ . Según entendí el procedimiento, es algo así como cambiar a una base donde $\hat T_{ik}$ es bloque-diagonal, eligiendo uno de estos bloques (irreps) $R_l(\hat T_{ik})$ , expresándolo en términos de $R_l(\hat L_i)$ , y luego volviendo a la base original. ¿Es correcto?
Gracias, eso es un poco más claro. Entonces, "promediar sobre una dirección radial" en realidad significa "promediar sobre números cuánticos radiales", como aquí $⟨ yo metro | \bar{{\hat{T}}_{i k}} | yo {metro}^{'} ⟩ = \sum_{norte} ⟨ norte yo metro | {\hat{T}}_{i k} | norte yo {metro}^{'} ⟩ ?$ $\langle lm|\overline{\hat T_{ik}}|lm'\rangle=\sum_n\langle nlm|\hat T_{ik}|nlm'\rangle?$ ¿O realmente te refieres a una integral sobre la dirección del espacio de configuración? $r$ ? (¿O tal vez es de alguna manera lo mismo, y estoy confundiendo algo?)

Emilio Pisanty · Answer 2

Disculpa, no leí muy bien la pregunta. Dejo mi respuesta anterior a continuación, ya que responde directamente al título y, por lo tanto, puede ayudar a los futuros interesados.

Esto parece ser un lenguaje un poco descuidado (aunque no necesariamente culparía a L&L si no está presente en el original ruso, pero mi copia en español tiene una forma equivalente). Leería el texto como

El valor medio requerido es el de un operador que se puede expresar en términos del operador $\mathbf{\hat l}$ solo.

De hecho, esta es una declaración correcta, aunque necesita una maquinaria bastante tosca para ello. La función de onda $\psi(\mathbf r)$ se puede dividir en un $r$ -parte dependiente y una función de onda en la esfera unitaria. Los componentes $n_i$ son iguales a los armónicos esféricos en la esfera, lo que significa que son una función de los componentes del momento angular. Su producto está por tanto en el álgebra, pero como se transforma de una manera específica se reduce a las combinaciones reivindicadas por L&L.

su ecuación

$\bar{{norte}_{i} {norte}_{k}} - \frac{1}{3} d_{i k} = a [{\hat{yo}}_{i} {\hat{yo}}_{k} + {\hat{yo}}_{k} {\hat{yo}}_{i} - \frac{2}{3} d_{i k} yo (yo + 1)]$ $\overline{n_in_k}-\frac13\delta_{ik}=a[\hat l_i\hat l_k+\hat l_k\hat l_i-\frac23\delta_{ik}l(l+1)]$

definitivamente tiene operadores en ambos lados, por lo que creo que es bastante seguro poner este en una peculiaridad del idioma (o incluso de la traducción).

Cualquier número complejo puede verse como un operador.

Más específicamente, cualquier número complejo $z$ actúa sobre los estados $|\psi\rangle\in\mathcal H$ de forma natural a través de la multiplicación escalar:

| ψ ⟩ \mapsto z | ψ ⟩ .

$|\psi\rangle\mapsto z|\psi\rangle.$ Este operador es la incorporación natural de

z

$z$ en el espacio de operadores lineales en

H

$\mathcal H$ . Como señalan Landau y Lifshitz, esto es simplemente

z

$z$ veces ¹ el operador de identidad

1

$\mathbf 1$ , que envía cualquier

| ψ ⟩

$|\psi\rangle$ a sí mismo.

Realmente no hay mucho más que eso. Solo estás aplicando este concepto general al número complejo específico $\overline\kappa\in\mathbb C$ .

^{¹ Donde "tiempos", por supuesto, es la multiplicación escalar en $\mathcal L(\mathcal H)$ cuando se ve como un espacio vectorial.}

@EmilioPisanty lamentablemente, este no es el problema, vea mi comentario. De hecho, el libro era un poco poco riguroso y equiparaba un operador con su valor propio.

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Estados propios del momento angular orbital en la representación |r⟩|r⟩|\mathbf{r}\rangle

Valores esperados de los operadores LxLxL_x y LyLyL_y en LzLzL_z-eigenstates

L^xL^x\hat{L}_{x} y L^yL^y\hat{L}_{y} no se desplazan... ¿o sí?

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