La función de onda de un sistema de dos partículas idénticas.

Para un sistema de dos partículas idénticas, donde r 1 es el vector de posición de la partícula 1 y r 2 es la posición vec. de la partícula 2, la función de onda debe ser uno de los estados más o menos:

ψ ± ( r 1 , r 2 ) = A [ ψ a ( r 1 ) ψ b ( r 2 ) ± ψ b ( r 1 ) ψ a ( r 2 ) ] ,
dónde ψ a y ψ b son las funciones de onda de la partícula 1 y 2 respectivamente [ecuación 5.10 de la Introducción a la mecánica cuántica de Griffith, 2ª ed.].

Veo que esta ecuación hace que la función de onda ψ ± trate las dos partículas de manera idéntica, pero no conozco ninguna prueba de que en realidad sea la única forma de escribir esta ecuación de onda para tratarlas de manera idéntica. Por ejemplo, ¿por qué no una función de onda como:

ψ ± ( r 1 , r 2 ) = A ψ a 2 ( r 1 ) ψ b 2 ( r 2 ) ± ψ b 2 ( r 1 ) ψ a 2 ( r 2 )   ?

Es una función de onda válida, pero se pierde la interpretación de tener una partícula en el estado ay la otra en el estado b. Solo tienes dos partículas en un estado complicado.

Respuestas (4)

el requisito es

(1) ψ ( X 1 , X 2 ) = { ψ ( X 2 , X 1 ) para bosones − ψ ( X 2 , X 1 ) para fermiones .
Esta propiedad es requerida por el teorema de la estadística de espín en la teoría cuántica relativista de campos. Dado que se supone que la mecánica cuántica no relativista es una aproximación a la teoría cuántica de campos relativista, también la aplicamos en QM no relativista. Un caso especial de la ecuación (1) es
(2) ψ ( X 1 , X 2 ) ≈ { F ( X 1 ) gramo ( X 2 ) + F ( X 2 ) gramo ( X 1 ) para bosones F ( X 1 ) gramo ( X 2 ) − F ( X 2 ) gramo ( X 1 ) para fermiones ,
pero como dijo la respuesta de Lewis Miller, este es solo un caso especial. El requisito general es la ecuación (1).

El ejemplo de raíz cuadrada escrito en la pregunta no satisface el requisito (1).

Gracias @Dan Yand por mencionar ese teorema. si tomamos A = i , ¿la función de onda de la raíz cuadrada no satisfaría la condición (1)?
@Mathophile-Mathochist Para una cantidad compleja z , la función z ↦ z tiene doble valor, con signos opuestos. Podemos elegir el signo para un valor de z , pero entonces el signo para otros valores de z debe ser determinada por la continuidad. Entonces, supongamos que comenzamos con z = 1 y aplicar una rotación continua en el plano complejo para llegar a z = − 1 , decir z = Exp ⁡ ( i θ ) con 0 ≤ θ ≤ π . si elegimos 1 = 1 , entonces Exp ⁡ ( i θ ) = Exp ⁡ ( i θ / 2 ) . Desde Exp ⁡ ( i π / 2 ) ≠ − 1 , esto muestra que el ejemplo de la raíz cuadrada no satisface el requisito de cambio de signo del fermión.
Ya veo, tiene sentido.

Esta forma de producto de la función de onda de dos partículas solo es correcta si las partículas no interactúan. Sin embargo, a menudo se usa como una primera aproximación, y si toma el valor esperado del hamiltoniano verdadero y lo minimiza (tomando una derivada variacional), obtiene la ecuación de Hartree-Fock de dos cuerpos que se usa a menudo para aproximar el suelo. energía de estado y función de onda para sistemas de muchos cuerpos de fermiones. Esta aproximación a menudo se llama la aproximación de campo medio.

Gracias @Lewis Miller. Es cierto que esto es solo para partículas que no interactúan. No sé acerca de la ecuación Hartree-Fock de dos cuerpos. Estoy familiarizado con el cálculo variacional, por lo que le agradecería que me explicara la relación entre esta ecuación y OP.

Estás olvidando que la función de onda también debe satisfacer el TISE. Con esta condición, las funciones de onda combinadas deben ser la suma de una permutación de productos.

Si tenemos dos partículas, una en estado ψ a y el otro en estado ψ b , entonces el vector de estado sería | ψ a ⟩ | ψ b ⟩ .

Sin embargo, si las partículas son indistinguibles, entonces es igualmente probable que ocurra lo contrario (es decir, la "primera" partícula en estado ψ b y la "segunda" partícula en estado ψ a ). Por lo tanto, nos gustaría que todo el estado fuera una combinación lineal de estos dos estados, cada uno con el mismo peso. Por lo tanto, terminamos con

| Ψ ⟩ = | ψ a ⟩ | ψ b ⟩ ± | ψ b ⟩ | ψ a ⟩

Si elegimos trabajar en el | r 1 ⟩ | r 2 ⟩ base, entonces terminamos con la expresión que declaras.

Creo que el problema con su estado es que no es una combinación lineal "agradable" de los estados donde una partícula está en estado ψ a y el otro en estado ψ b . Necesitamos esto si queremos que el postulado mantenga que cuando | ψ ⟩ = ∑ C i | ψ norte ⟩ , sabemos que hay una probabilidad de | C i | 2 medir el sistema para estar en estado | ψ i ⟩

La función de onda de un sistema de dos partículas idénticas.
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