Probabilidad mayor que 1 al integrar la densidad de electrones en la teoría funcional de la densidad

La densidad de electrones utilizada en la teoría del funcional de densidad para un sistema de$N$electrones con función de onda$\psi$Se define como

$$\rho(r)=N\int \Psi^*(r,r_2,\dots r_N)\Psi(r,r_2,\dots r_N) d^3r_2\dots d^3r_N$$

La interpretación de esto se da como la probabilidad de encontrar uno de los$N$electrones en el elemento de volumen$d^3r$. También se cumple la siguiente propiedad:

$$\int \rho(r)d^3r=N$$ no entiendo eso si$\rho(r)$es la densidad de probabilidad con la interpretación antes mencionada, su integral sobre todo el espacio debería significar simplemente: "La probabilidad de encontrar un electrón en todo el espacio" y eso debería ser simplemente$1$, no $N$. ¿Cómo puede ser mayor que 1 la probabilidad de encontrar un electrón en cualquier punto de todo el espacio?

Fuente: Guía de un químico para la teoría funcional de la densidad. Segunda edición Wolfram Koch, Max C. Holthausen